Gini-Koeffizient berechnen: Werteliste und Lorenzkurve

Sortiere die Werte aufsteigend, bilde die Summe und bestimme für jeden Wert den kumulierten Anteil der Merkmalsträger u = i/n und den kumulierten Anteil der Summe v.

Dann gilt G = 1 − (1/n) · Σ (v_i + v_(i−1)), also eins minus die mit 1/n gewichtete Summe der Trapezhöhen.

Bei den vier Werten 10, 20, 30 und 40 ist die Summe 100, die v-Werte lauten 0,1, 0,3, 0,6 und 1,0, und die Trapezsumme ergibt 3,0 geteilt durch 4, also 0,75. Daraus folgt G = 1 − 0,75 = 0,25.

Gleichwertig geht es über den mittleren Abstand zweier Werte: Δ = 12,5, Mittelwert 25, G = 12,5 / (2 · 25) = 0,25. Im Rechner siehst du beide Wege im Rechenweg und die Lorenzkurven-Tabelle mit allen u- und v-Werten.

Weicht deine Handrechnung ab, liegt meist ein Sortierfehler vor: Die Werte müssen vor dem Kumulieren aufsteigend stehen, sonst wird die Fläche falsch.

Feste Grenzen für „hoch“ oder „niedrig“ gibt es nicht, denn der Wert braucht einen Vergleichsmaßstab. Für Deutschland meldet Eurostat aus der Erhebung EU-SILC 2025 einen Gini-Index von 30,1 bei den Äquivalenzeinkommen, für die EU-27 29,2.

Der Rechner ordnet deine Zahl gegen diese Marke ein.

Als Gefühl für die Spanne helfen die Beispiellisten der Referenztabelle: Zehn gleichmäßig steigende Beträge von 2.400 bis 4.200 Euro ergeben 0,10, die zehn Gehälter von 1.500 bis 9.000 Euro 0,3081 und eine Vermögensliste mit vier Nullen und Werten bis 500.000 Euro 0,8051.

Vergleiche deshalb nur Listen gleicher Abgrenzung, gleicher Einheit und gleichen Zeitraums.

Willst du eine Entwicklung beurteilen, rechne die Daten des Vorjahres als zweite Liste durch und achte auf die Änderung von G, nicht auf den Einzelwert allein.

Besonders aussagekräftig ist die Veränderung über die Zeit, solange die Erhebung gleich bleibt, denn dann fällt die Frage nach dem richtigen Maßstab weg.

Beides beschreibt dieselbe Größe auf unterschiedlicher Skala. Der Gini-Koeffizient G liegt zwischen 0 und 1, der Gini-Index ist G mal 100 und läuft von 0 bis 100. Eurostat nennt den Index, Lehrbücher und Statistikaufgaben den Koeffizienten.

Der Rechner zeigt beide Werte: Für die zehn Gehälter ergibt sich G = 0,3081 und der Index 30,8. Rechne also vor einem Vergleich auf dieselbe Skala um: 0,308 entspricht dem Index 30,8, nicht 3,08 und nicht 308.

Missverständlich ist die Schreibweise „30,8 %“: Der Index ist kein Prozentanteil einer Gruppe und sagt nicht, dass 30,8 % der Menschen etwas besitzen.

Für Anteile einzelner Gruppen liefert der Rechner eigene Werte, etwa den Anteil der obersten 10 % von 24,3 % an der Summe.

Prüfe außerdem, ob eine Quelle den Wert für Einzelpersonen oder für Haushalte berechnet; der Rechner nimmt jeden Eintrag deiner Liste als eine Einheit, egal ob Person oder Haushalt.

Bei n Einzelwerten kann G nie 1 erreichen, selbst wenn ein Wert die gesamte Summe hält. Der Höchstwert beträgt (n − 1)/n.

Die Liste 0, 0, 0, 10 ergibt deshalb G = 0,75, obwohl die Konzentration vollständig ist; der normierte Wert G* = G · n/(n − 1) = 0,75 · 4/3 = 1 zeigt das. Bei den zehn Gehältern wächst G = 0,3081 auf G* = 0,3423.

Der Unterschied schrumpft mit wachsender Zahl: Bei n = 100 liegt G* nur rund 1 % über G, bei 1.000 Einzelwerten rund 0,1 %.

Nutze G* daher bei kleinen Gruppen unter etwa 30 Werten, zum Beispiel Abteilungen, Teams oder Stichproben, und gib im Text an, welchen Wert du meinst. Bei klassierten Daten entfällt der normierte Wert, weil dafür die Zahl der Einzelwerte fehlt.

Mit dem Schalter im Rechner blendest du G* ein oder aus.

Jede Zeile nennt den kumulierten Anteil der Merkmalsträger u, den kumulierten Anteil der Summe v und den Abstand u − v zur Gleichverteilung.

Bei den zehn Gehältern erreichen die unteren 50 % erst v = 28,4 % der Gesamtsumme, die unteren 90 % haben 75,7 %, die obersten 10 % halten also 24,3 %.

Der größte Abstand liegt bei u = 60 % mit 23,0 Punkten; dort entfernt sich die Lorenzkurve am weitesten von der Diagonale. Je größer die Abstände, desto höher G. Bei mehr als 20 Werten fasst der Rechner die Kurve in zehn Dezilschritten zusammen.

Zum Vergleich zweier Verteilungen halte die beiden Tabellen nebeneinander: Liegt eine Kurve überall unter der anderen, ist sie ungleicher. Kreuzen sich die Kurven, kann G beider Listen gleich sein, obwohl die Verteilungen verschieden aussehen.

Dann hilft der Blick auf die Anteile der unteren und oberen Gruppen.

Der Wert ist ein Näherungswert und liegt tendenziell unter der wahren Ungleichheit, weil der Rechner innerhalb jeder Klasse Gleichverteilung annimmt. Aus Einkommensfünfteln mit den Anteilen 8, 12, 16, 22 und 42 % an der Summe ergibt sich G = 0,312.

Fasst du dieselben Daten gröber in zwei Hälften mit 20 und 80 % zusammen, sinkt G auf 0,3. Je feiner die Klassen, desto näher kommt das Ergebnis dem Wert der Einzeldaten.

Trage in die beiden Spalten Anzahl oder Prozent ein, aber in jeder Spalte einheitlich; die Reihenfolge der Zeilen ist egal, der Rechner sortiert nach dem Wert je Merkmalsträger. Zulässig sind zwei bis zehn Klassen.

Liegen dir die Einzelwerte vor, nutze lieber die Werteliste. Bei offenen obersten Klassen, etwa „über 5.000 Euro“, brauchst du zuvor eine begründete Schätzung der Klassensumme.

Der Rechner nennt die Annahme ausdrücklich unter dem Ergebnis, damit der Näherungscharakter nicht untergeht.

Nur unter Bedingungen. Die Marke 30,1 für Deutschland und 29,2 für die EU-27 stammt aus EU-SILC 2025 (Eurostat, Tabelle ilc_di12) und gilt für das Äquivalenzeinkommen, also das um die Haushaltsgröße bereinigte verfügbare Einkommen.

Dein Wert ist nur vergleichbar, wenn deine Liste ebenfalls Nettoäquivalenzeinkommen einer repräsentativen Stichprobe enthält.

Bruttogehälter eines Betriebs, Vermögenswerte oder Umsätze folgen anderen Verteilungen: Die Beispielliste mit Vermögen in der Referenztabelle erreicht 0,8051, ohne dass das etwas über Deutschland sagt.

Kleine Gruppen schwanken zudem stark; schon ein einziger Ausreißer verschiebt G, wie 0,3525 statt 0,3081 bei 12.000 statt 9.000 Euro zeigt. Nutze die Einordnung des Rechners daher als Orientierung.

Für eine belastbare Aussage brauchst du die amtliche Statistik mit ihrer Methodik, Gewichtung und dem genannten Erhebungsjahr.

Gib bei einer Veröffentlichung immer Quelle, Jahr und Abgrenzung an, zum Beispiel „Gini-Index der Äquivalenzeinkommen, EU-SILC 2025“, damit andere die Zahl richtig einordnen.

Excel hat keine eigene Gini-Funktion. Mit aufsteigend sortierten Werten, etwa in A2:A5, genügt eine einzige Formel: =SUMMENPRODUKT((2*(ZEILE(A2:A5)-ZEILE(A2)+1)-ANZAHL(A2:A5)-1)*A2:A5)/(ANZAHL(A2:A5)*SUMME(A2:A5)).

Sie rechnet G = Σ (2i − n − 1) · x(i) / (n · Σ x) mit dem Rang i jedes Werts. Für die Werte 10, 20, 30 und 40 liefert sie 100 / (4 · 100) = 0,25, genau wie der Rechner.

Wichtig ist die Sortierung: Ohne aufsteigende Reihenfolge stimmt der Rang nicht und das Ergebnis ist falsch. Für den normierten Wert multiplizierst du mit n/(n − 1), hier 4/3, und erhältst 0,3333.

Die Formel setzt Werte ab 0 und eine Summe größer 0 voraus. Bei sehr langen Listen oder klassierten Daten ist der Rechner bequemer, weil er Sortierung, Lorenzkurven-Tabelle und Randfälle selbst behandelt.

Prüfe die Excel-Formel einmal gegen den Rechner: Beide müssen auf vier Stellen übereinstimmen, sonst stehen meist Textzahlen oder eine Leerzeile im Bereich.