t-Test-Rechner: p-Wert, t-Wert und t-Tabelle berechnen

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, bei gültiger Nullhypothese einen t-Wert zu erhalten, der mindestens so extrem ist wie der berechnete.

Im Beispiel mit x̄ = 105, s = 15, n = 25 und μ₀ = 100 gilt t = 1,667 bei 24 Freiheitsgraden und p = 0,1086: In gut 10 von 100 Stichproben aus einer Grundgesamtheit mit dem Mittelwert 100 wäre die Abweichung mindestens so groß.

Liegt p unter dem vorher gewählten α, etwa 0,05, wird H₀ verworfen; liegt es darüber, bleibt sie bestehen. Der p-Wert ist keine Wahrscheinlichkeit dafür, dass H₀ stimmt, und er sagt nichts über die Größe des Unterschieds.

Ein p von 0,049 ist nicht „stärker bewiesen“ als ein p von 0,051; beide Werte liegen praktisch gleichauf, nur die Entscheidungsregel trennt sie. Prüfe deshalb neben p immer die Effektstärke d und das Konfidenzintervall, die der Rechner mit ausgibt.

Zweiseitig ist der Normalfall: Du prüfst, ob der Mittelwert vom Sollwert abweicht, gleichgültig in welche Richtung.

Einseitig testest du nur, wenn vor der Messung feststeht, dass ausschließlich eine Richtung von Interesse ist, etwa Unterfüllung bei einer Abfüllanlage.

Der einseitige p-Wert ist halb so groß wie der zweiseitige, sofern das Vorzeichen von t zur Richtung passt: Im Standardbeispiel fällt p von 0,1086 auf 0,0543, und der kritische Wert sinkt von ±2,0639 auf +1,7109.

Wer die Richtung erst nach einem Blick auf die Daten wählt, halbiert den p-Wert zu Unrecht und verdoppelt in Wahrheit das Fehlerrisiko auf 10 %.

Beachte auch: Das Konfidenzintervall des Rechners ist stets zweiseitig; bei einem einseitigen Test kann es den Sollwert enthalten, obwohl der Test signifikant ist.

Im Zweifel bleibt zweiseitig die ehrliche Wahl, und wer einseitig testet, nennt die Richtung und ihren Grund im Bericht, damit andere die Entscheidung nachvollziehen können.

Wähle im Zweifel den Welch-Test. Er verlangt keine gleichen Varianzen und passt die Freiheitsgrade nach Welch-Satterthwaite an; bei gleicher Streuung und gleichen Gruppengrößen liefert er praktisch dasselbe wie der gepoolte Test.

Der Unterschied zeigt sich bei ungleichen Gruppen: Mit x̄₁ = 20, x̄₂ = 18, s = 2 und 8 sowie n = 40 und 10 ergibt Welch p = 0,4523 bei df = 9,28, der gepoolte Test dagegen p = 0,1540 bei df = 48.

Der gepoolte Test unterschätzt hier die Unsicherheit, weil die kleine, stark streuende Gruppe zu wenig Gewicht bekommt; sein Standardfehler beträgt 1,38 statt 2,55.

In Excel entspricht T.TEST mit Typ 3 dem Welch-Test, Typ 2 dem gepoolten und Typ 1 dem gepaarten Test.

Einen Varianztest vorzuschalten ist nicht nötig, weil Welch in beiden Fällen funktioniert; der Rechner zeigt zum Vergleich auch das Ergebnis des jeweils anderen Verfahrens.

Immer dann, wenn jeder Wert der einen Messreihe zu genau einem Wert der anderen gehört: dieselben Personen vorher und nachher, zwei Messgeräte am selben Bauteil, zwei Behandlungen an derselben Einheit.

Der Test rechnet mit den Differenzen und hat n − 1 Freiheitsgrade, wobei n die Zahl der Paare ist. Das Pairing entfernt die Streuung zwischen den Einheiten und macht den Test oft deutlich schärfer.

Bei zehn Messpaaren aus Student (1908) liefert der gepaarte Test t = −4,0621 und p = 0,0028, derselbe Datensatz als zwei unabhängige Gruppen nach Welch nur t = −1,8608 und p = 0,0794.

Wichtig: Beide Listen müssen gleich lang und in derselben Reihenfolge eingegeben sein; der Rechner bildet Wert 1 minus Wert 2 und weist ungleiche Längen ab.

Zwei getrennte Gruppen verschiedener Personen sind kein gepaarter Fall, auch wenn beide gleich groß sind; dann gehört der Welch-Test zur Aufgabe.

Suche die Zeile mit den Freiheitsgraden und die Spalte mit dem Signifikanzniveau. Für den zweiseitigen Test bei α = 0,05 und df = 10 steht dort 2,2281, bei df = 24 sind es 2,0639 und bei unendlich vielen Freiheitsgraden 1,9600.

Ist der Betrag deines t-Werts größer als der Tabellenwert, liegt p unter α und H₀ wird verworfen; im Standardbeispiel ist |t| = 1,667 kleiner als 2,0639, also nicht signifikant.

Für einen einseitigen Test nutzt du die Spalte mit dem doppelten α: einseitig 0,05 entspricht zweiseitig 0,10, in der Zeile df = 24 also 1,7109.

Bei Welch-Tests ist df meist keine ganze Zahl; Tabellen rundet man dann vorsichtig nach unten, der Rechner nutzt dagegen den exakten Wert, zum Beispiel 52,47 statt 52.

Die Tabelle unter dem Rechner wird mit derselben Funktion berechnet wie das Ergebnis, sodass beide nie auseinanderlaufen.

Nein, denn Signifikanz sagt nur, dass ein Unterschied nicht gut durch Zufall zu erklären ist, nicht dass er groß oder wichtig ist.

Bei x̄ = 100,5, s = 15 und n = 10.000 ist der Test mit t = 3,333 und p = 0,0009 hoch signifikant, doch der Mittelwert liegt nur 0,5 neben dem Sollwert 100 bei einer Streuung von 15, die Effektstärke beträgt d = 0,033.

Umgekehrt zeigt x̄ = 110, s = 15, n = 5 mit d = 0,667 einen mittleren Effekt, aber p = 0,2103, weil die Stichprobe zu klein war.

Lies deshalb drei Dinge zusammen: den p-Wert, die Effektstärke d (Faustwerte nach Cohen: 0,2 klein, 0,5 mittel, 0,8 groß) und das Konfidenzintervall, das die plausible Größe der Differenz in ihrer Einheit zeigt.

Entscheide danach mit Blick auf Kosten, Risiken und den kleinsten Unterschied, der für dich praktisch zählt.

Rechnerisch genügen n = 2 je Gruppe, bei gepaarten Daten zwei Paare, denn dann lässt sich eine Standardabweichung schätzen.

Aussagekräftig ist das kaum: Mit n = 2 hat der Einstichprobentest nur einen Freiheitsgrad, der kritische Wert liegt bei ±12,7062, und das 95-%-Konfidenzintervall im Beispiel mit x̄ = 105 und s = 15 reicht von −29,77 bis 239,77.

Mit n = 25 sinkt der kritische Wert auf ±2,0639 und mit n = 100 auf ±1,9842. Wie viele Werte du brauchst, hängt vom Effekt ab, den du sicher nachweisen willst: Ein kleiner Effekt braucht ein Vielfaches der Daten eines großen.

Plane die Stichprobengröße deshalb vor der Messung, nicht danach, und beende eine Erhebung nicht, sobald p zufällig unter 0,05 fällt. Wer so lange Daten sammelt, bis das Ergebnis passt, verfälscht den Test.

Bei Pilotdaten mit sehr kleinem n sollte das Konfidenzintervall deshalb nur als grobe Spanne gelten.

Der t-Test setzt voraus, dass die Beobachtungen unabhängig voneinander gezogen wurden und die Werte annähernd normalverteilt sind; beim gepaarten Test gilt die Normalverteilung für die Differenzen.

Ab etwa n = 30 trägt der zentrale Grenzwertsatz, sodass der Mittelwert auch bei schiefen Daten annähernd normalverteilt ist; bei kleinerem n sind starke Schiefe und Ausreißer problematisch.

Der Test mit gepoolter Varianz verlangt zusätzlich gleiche Varianzen, der Welch-Test nicht.

Nicht prüfen kann der Rechner, ob deine Stichprobe zufällig und unverzerrt ist, ob Messungen voneinander abhängen oder ob du mehrere Tests an denselben Daten gemacht hast: Bei zehn Tests mit α = 0,05 liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein zufällig signifikantes Ergebnis bei rund 40 %.

Bei stark verletzten Annahmen helfen rangbasierte Verfahren, die dieser Rechner nicht anbietet.

Prüfe die Daten vor dem Test in einem Histogramm oder Boxplot auf Ausreißer, Mehrgipfligkeit und Obergrenzen, und dokumentiere, wenn du einen Wert entfernst, den Grund dafür.