Überblick
Was berechnet der Tschebyscheff-Rechner?
Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.
Die Tschebyscheff-Ungleichung sagt, wie weit eine Zufallsvariable höchstens vom Erwartungswert abweicht, ohne dass man ihre Verteilung kennen muss. Sie gilt für jede Verteilung mit endlicher Varianz, ob symmetrisch, schief oder diskret.
Der Preis dafür ist Grobheit: Die Ungleichung liefert eine Schranke, keine Wahrscheinlichkeit.
Sie wird nach Irénée-Jules Bienaymé und Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt und in der Literatur auch Tschebyschew, Chebyshev oder Tschebyscheff geschrieben. Der Rechner bildet die Ungleichung in vier Formen ab.
In der k-Sigma-Form gibst du die Abweichung als Vielfaches der Standardabweichung an, in der ε-Form als absoluten Wert, im Intervall-Modus über die Grenzen a und b.
Der vierte Modus rechnet eine Binomialverteilung mit n und p und vergleicht die Schranke mit der exakt aufsummierten Wahrscheinlichkeit. Daneben zeigt er, wie viel eine Normalverteilung im selben Intervall tragen würde.
Ein Zahlenbeispiel: Bei μ = 100 und σ = 15 liegen im Intervall von 70 bis 130, also k = 2, nach Tschebyscheff mindestens 75 Prozent der Werte. Die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von mindestens 30 beträgt höchstens 25 Prozent.
Wäre die Größe normalverteilt, lägen 95,45 Prozent im Intervall. Die Schranke ist trotzdem nützlich, weil sie ohne Annahmen auskommt: Sie begründet das schwache Gesetz der großen Zahlen und liefert Aussagen für Messreihen unbekannter Form.
Eine typische Aufgabe lautet: μ und σ sind gegeben, gesucht ist ein Intervall um μ, in dem mit mindestens 90 Prozent Wahrscheinlichkeit der Wert liegt.
Aus 1 − 1 ÷ k² = 0,9 folgt k = √10 ≈ 3,16, bei σ = 15 also ε ≈ 47,4 und ein Intervall von rund 52,6 bis 147,4. Für 99 Prozent braucht man k = 10. Diese Umkehrung zeigt den Preis der Allgemeinheit: Ohne Verteilungswissen werden die Intervalle breit.
