Zum Hauptinhalt springen

Lineare Regression Rechner: Gerade, R² und Prognose

MathematikStand Noch keine Bewertung
Regressionsmodell
Nachkommastellen in Gleichung und Tabelle
Anzeige

Kurzantwort

Die lineare Regression legt die Gerade durch eine Punktwolke, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abweichungen am kleinsten ist. Der Rechner liefert Gleichung, R², r, Standardfehler, Prognose und Residüntabelle, wahlweise auch für Kurvenmodelle.

Lineare Regression berechnen: x- und y-Werte einfügen, Regressionsgerade, R²

Kilian AchatzFachredaktion Mathematik
Geprüft: Review-Team Rechner-Portal (Okt. 2026)Stand:

Überblick

Lineare Regression berechnen: Regressionsgerade, R² und Prognose

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Die lineare Regression legt eine Gerade so durch eine Punktwolke, dass die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zu den Messpunkten möglichst klein wird. Du brauchst sie, wenn du zwei Größen gemessen hast, etwa Temperatur und Verkaufszahl, und ihren Zusammenhang als Gleichung ŷ = a + b · x festhalten willst.

Dieser Rechner nimmt eine Liste von x-Werten und eine Liste von y-Werten und liefert die Regressionsgerade mit Bestimmtheitsmaß R², Korrelationskoeffizient r, Standardfehler, Prognose und Residuentabelle.

Die x-Werte 1 bis 5 mit den Messwerten 2,1; 3,9; 6,2; 7,8 und 10,1 ergeben ŷ = 0,05 + 1,99 · x bei R² = 0,9973.

Typische Anlässe sind eine Messreihe im Labor, die Trendlinie für einen Bericht oder die Frage, um wie viel sich der Absatz je Grad Temperatur ändert. Neben der Gleichung zeigt die Residuentabelle für jeden Punkt, wie weit die Gerade danebenliegt.

Passt keine Gerade, wählst du ein anderes Regressionsmodell: exponentiell, logarithmisch, Potenz oder quadratisch. Der Rechner prüft weder Signifikanz noch Ursache; er beschreibt, wie gut die gewählte Kurve zu genau diesen Datenpaaren passt.

Eingaben

x-Werte, y-Werte und Modell: Was trägst du ein?

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Trage unter „x-Werte“ die Größe ein, von der du ausgehst, zum Beispiel die Mittagstemperatur in °C. Unter „y-Werte“ steht die Größe, die du erklären willst, etwa die verkauften Eisbecher.

Beide Listen brauchen gleich viele Zahlen in derselben Reihenfolge: Das erste x gehört zum ersten y. Trenner sind Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenumbruch, das Dezimalkomma ist erlaubt, und eine kopierte Excel-Spalte funktioniert direkt.

Zulässig sind 3 bis 2.000 Paare. Bei Jahreszahlen als x-Werten rechnest du besser mit Jahren seit Beginn (0, 1, 2 …), dann bleiben die Koeffizienten lesbar. Zahlen mit Tausenderpunkt wie 1.500 weist der Rechner ab, weil der Punkt mehrdeutig wäre.

Das Regressionsmodell wählst du nach der Form der Punkte; exponentiell, Potenz und logarithmisch verlangen positive Werte. Die Prognose für x ist optional: Mit 30 erhältst du ŷ aus der Kurve. Die Nachkommastellen gelten für Gleichung und Tabelle.

Besonders häufig sind vertauschte Listen, denn y auf x und x auf y ergeben verschiedene Geraden.

Praxisfälle

Regression berechnen nach Situation

Sechs typische Suchfragen zur Regression, jede mit Eingaben und dem nachgerechneten Ergebnis aus dem Rechner oben.

  1. Lineare Regression aus fünf Messpunkten

    „Wie lautet die Regressionsgerade für die x-Werte 1 bis 5 und die y-Werte 2,1; 3,9; 6,2; 7,8; 10,1?“

    Eingabe
    x: 1;2;3;4;5 | y: 2,1;3,9;6,2;7,8;10,1 | Modell linear | Prognose für x = 6
    Ergebnis
    ŷ = 0,05 + 1,99 · x | R² = 0,9973 | r = 0,9987 | s = 0,1889 | ŷ(6) = 11,99

  2. Verkaufszahl und Temperatur

    „Wie viele Eisbecher sind bei 30 °C zu erwarten, wenn bei 14 bis 28 °C zwischen 38 und 104 verkauft wurden?“

    Eingabe
    x: 14 16 18 20 22 24 26 28 | y: 38 47 55 68 74 88 95 104 | Modell linear | Prognose 30
    Ergebnis
    ŷ = −29,75 + 4,8036 · x | R² = 0,9958 | s = 1,65 | ŷ(30) = 114,36 (Extrapolation)

  3. Exponentielle Regression bei Verdopplung

    „Welche Gleichung passt zu den Werten 1, 2, 4 und 8 bei x = 0 bis 3?“

    Eingabe
    x: 0 1 2 3 | y: 1 2 4 8 | Modell exponentiell | Prognose 10
    Ergebnis
    ŷ = 1 · e^(0,6931 · x) = 2^x | R² = 1 | ŷ(10) = 1.024

  4. Exponentielle Regression beim Zinseszins

    „Wie wächst ein Kapital von 1.000 € bei 5 % in zehn Jahren, wenn nur die ersten fünf Jahre vorliegen?“

    Eingabe
    x: 0 1 2 3 4 5 | y: 1000 1050 1102,5 1157,63 1215,51 1276,28 | Modell exponentiell | Prognose 10
    Ergebnis
    ŷ = 1.000,00 · e^(0,0488 · x) | R² > 0,99999 | ŷ(10) = 1.628,90 €

  5. Parabel durch Wurfhöhen

    „Welche quadratische Gleichung beschreibt eine Wurfhöhe von 0 m bei 0 s, 15 m bei 1 s und 15 m bei 3 s?“

    Eingabe
    x: 0 0,5 1 1,5 2 3 | y: 0 8,75 15 18,75 20 15 | Modell quadratisch | Prognose 2,5
    Ergebnis
    ŷ = 20 · x − 5 · x² | R² = 1 | ŷ(2,5) = 18,75 | höchster Punkt bei x = 2 mit 20

  6. Logarithmische Regression beim Schallpegel

    „Wie fällt ein Schallpegel von 80 dB in 1 m Entfernung bei 2, 4, 8 und 16 m ab?“

    Eingabe
    x: 1 2 4 8 16 | y: 80 73,98 67,96 61,94 55,92 | Modell logarithmisch | Prognose 32
    Ergebnis
    ŷ = 80 − 8,6850 · ln(x) | R² = 1 | r = −1 | ŷ(32) = 49,9 dB

Berechnung

Regression berechnen: lineare und nichtlineare Modelle

Verstehe den Formelweg.

Die Methode der kleinsten Quadrate sucht die Gerade, bei der die Residuen e = y − ŷ, also die senkrechten Abstände der Punkte, quadriert die kleinste Summe ergeben. Von Hand legst du dafür eine Hilfstabelle an.

Du bildest die Mittelwerte x̄ und ȳ sowie die Summen Sxx = Σ(x − x̄)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ). Die Steigung ist b = Sxy / Sxx, der Achsenabschnitt a = ȳ − b · x̄.

In der Beispielreihe gilt x̄ = 3, ȳ = 6,02, Sxx = 10 und Sxy = 19,9, also b = 1,99 und a = 0,05.

Die Gerade läuft dabei immer durch den Schwerpunkt (x̄ | ȳ) = (3 | 6,02) der Punktwolke. Regressionsgerade ŷ = 0,05 + 1,99 · x durch fünf Messpunkte mit den Residuen 0,06; −0,13; 0,18; −0,21 und 0,10 Das Bestimmtheitsmaß R² = 1 − SSres / SStot setzt die Restabweichung SSres = 0,107 ins Verhältnis zur Gesamtstreuung SStot = 39,708 und ergibt 0,9973.

Der Korrelationskoeffizient r = Sxy / √(Sxx · Syy) beträgt 0,9987; bei der Geraden ist R² = r². Der Standardfehler s = √(SSres / (n − 2)) = 0,1889 nennt die typische Abweichung in der Einheit von y.

Exponentiell und Potenz rechnet der Rechner über ln y beziehungsweise ln x und ln y, logarithmisch über ln x; die Parabel löst die Normalgleichungen für a, b und c.

Beim Exponentialmodell y = a · e^(b · x) folgt aus b der Wachstumsfaktor e^b je Schritt; bei einer Zinsreihe mit 5 % ist b = ln 1,05 = 0,0488. Beim Potenzmodell ist b der Exponent, bei der Parabel gehört c zum Quadrat.

Lineare Regression: Steigung b gleich Sxy geteilt durch Sxx, Achsenabschnitt a gleich Mittelwert y minus b mal Mittelwert x, R-Quadrat gleich 1 minus SSres durch SStot, Standardfehler s.
Formeln des Lineare-Regression-Rechners: Die Steigung ist Produktsumme durch Quadratsumme, der Achsenabschnitt folgt aus den Mittelwerten, R² vergleicht die Reststreuung mit der Gesamtstreuung.

Nachschlagen

Regression berechnen: fünf Modelle für dieselbe Zinsreihe im Vergleich

Welches Regressionsmodell passt? Die Reihe 1.000; 1.050; 1.102,50; 1.157,63; 1.215,51; 1.276,28 € (5 % Zins über sechs Jahre) wird hier in allen Modellen gerechnet. Die Gerade erreicht ein hohes R² und prognostiziert doch zu niedrig; das exponentielle Modell trifft den Verlauf, die Parabel liegt dazwischen, und Logarithmus und Potenz passen mit R² unter 0,94 deutlich schlechter.

Regressionsgleichung, R², Standardfehler und Prognose für Jahr 10 (bei Logarithmus und Potenz Jahr 11 bei x ab 1) in fünf Modellen
ModellGleichungR²Standardfehler s (€)Prognose (€)
Linearŷ = 995,5776 + 55,2303 · x0,99874,111.547,88
Exponentiellŷ = 1.000,0005 · e^(0,0488 · x)1,00000,001.628,90
Logarithmisch (x ab 1)ŷ = 969,6701 + 149,5458 · ln(x)0,918632,981.328,27
Potenz (x ab 1)ŷ = 976,1114 · x^0,13330,936029,251.343,70
Quadratischŷ = 1.000,0639 + 48,5008 · x + 1,3459 · x²1,00000,101.619,66

Berechnet mit der Rechenfunktion des Rechners. Logarithmisch und Potenz brauchen x > 0; dafür läuft die Zählung der Jahre bei 1 statt bei 0, die Prognose gilt dort für Jahr 11 und damit für denselben Zeitpunkt wie Jahr 10 der übrigen Zeilen. Die Reihe ist ein Rechenbeispiel, keine Anlageempfehlung.

R² und Korrelationskoeffizient bei typischen Datenmustern

Wie sehen r und R² bei welcher Punktwolke aus? Sechs kleine Reihen zeigen die Spanne von der perfekten Geraden über starke Streuung und einen Ausreißer bis zur U-Form, bei der die Gerade nichts erklärt, obwohl die Punkte streng geordnet sind.

Lineare Regression: Gleichung, Korrelationskoeffizient r, R² und Standardfehler für sechs Beispielreihen
DatenmusterGleichungrR²Standardfehler s
Genau auf einer Geradenŷ = 1,0000 + 2,0000 · x1,00001,00000,00
Leichte Streuungŷ = 0,0500 + 1,9900 · x0,99870,99730,19
Starke Streuungŷ = 2,8000 + 0,6286 · x0,83150,69140,88
Fallende Gerade mit Streuungŷ = 5,8000 − 1,2000 · x−0,98640,97300,37
Ein Ausreißer am Endeŷ = −7,2500 + 3,5536 · x0,88510,78349,89
U-Form (y = x² um die Mitte)ŷ = 4,0000 + 0,0000 · x0,00000,00004,10

Berechnet mit der Rechenfunktion des Rechners im linearen Modell. Die Reihen sind erfundene Rasterwerte; bei der U-Form ist r = 0, obwohl y genau von x abhängt, weil r nur geradlinige Zusammenhänge misst.

Expertenmodus

Häufige Fragen zur linearen Regression

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Wie berechne ich die lineare Regression von Hand?

Bilde zuerst die Mittelwerte x̄ und ȳ, dann Sxx = Σ(x − x̄)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ). Die Steigung ist b = Sxy / Sxx, der Achsenabschnitt a = ȳ − b · x̄. Für die x-Werte 1 bis 5 und die y-Werte 2,1; 3,9; 6,2; 7,8; 10,1 gilt x̄ = 3 und ȳ = 6,02.

Die Abweichungen vom Mittel ergeben Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 und Sxy = 7,84 + 2,12 + 0 + 1,78 + 8,16 = 19,9. Daraus folgt b = 19,9 / 10 = 1,99 und a = 6,02 − 1,99 · 3 = 0,05.

Prüfe das Ergebnis mit der Gegenprobe: Die Summe der Residuen muss 0 ergeben, hier 0,06 − 0,13 + 0,18 − 0,21 + 0,10 = 0. Setze die Gerade ŷ = 0,05 + 1,99 · x erst dann für Prognosen ein, wenn R² und die Residuentabelle zum Modell passen.

Der Rechner zeigt jeden dieser Schritte im Rechenweg mit denselben Zahlen, sodass du Zeile für Zeile vergleichen kannst.

Ab welchem R² ist eine Regression gut genug?

Eine feste Grenze gibt es nicht; was genügt, hängt vom Zweck ab. Für Messreihen, deren Zusammenhang physikalisch bekannt ist, erwartest du Werte nahe 1.

Bei Daten aus Befragungen oder Verhalten streuen die Punkte von Natur aus stärker, und Cohen (1988) nennt dort schon |r| ab 0,50 groß. R² gibt nur den Anteil der Streuung der y-Werte an, den das Modell erklärt: R² = 0,9973 heißt 99,7 %.

Bei der Geraden gilt R² = r², hier r = 0,9987. Verlass dich nie allein auf die Zahl. Eine Zinseszinsreihe erreicht als Gerade 0,9987 und liegt bei der Prognose für Jahr 10 trotzdem um 81 € daneben.

Prüfe deshalb zusätzlich die Residuentabelle auf Muster, den Standardfehler in der Einheit von y und die Zahl der Paare. Mit nur drei Punkten ist ein hohes R² schnell Zufall; ergänze lieber Messwerte, als das Modell zu loben.

Wie mache ich eine Regression in Excel?

In Excel gibt es mehrere Wege. STEIGUNG(y-Werte; x-Werte) und ACHSENABSCHNITT(y-Werte; x-Werte) liefern b und a, BESTIMMTHEITSMASS(y-Werte; x-Werte) das R², KORREL(x-Werte; y-Werte) das r und STFEHLERYX(y-Werte; x-Werte) den Standardfehler.

Achte auf die Reihenfolge: Bei den meisten dieser Funktionen steht zuerst y, dann x. Für Prognosen nutzt du TREND(y-Werte; x-Werte; neues x).

RGP(y-Werte; x-Werte; WAHR; WAHR) gibt alle Kennzahlen als Matrix aus, und für die exponentielle Regression gibt es RKP(y-Werte; x-Werte).

Alternativ markierst du die Punkte, fügst ein Streudiagramm ein und wählst „Trendlinie hinzufügen“ mit Gleichung und Bestimmtheitsmaß im Diagramm. Beachte: Die Trendlinie zeigt bei exponentiell und Potenz das R² der linearisierten Daten.

Der Rechner nennt es als eigene Kachel neben dem R² auf der y-Skala, sodass du beide Werte abgleichen kannst. Für die Beispielreihe liefert Excel b = 1,99, a = 0,05 und R² = 0,9973; die Funktionsnamen gelten für die deutsche Excel-Fassung.

Wann passt exponentielle statt linearer Regression?

Wähle exponentiell, wenn y je Schritt um einen gleichbleibenden Prozentsatz wächst oder schrumpft, nicht um einen gleichbleibenden Betrag. Die Gerade steigt immer um denselben Betrag, die Exponentialkurve um denselben Faktor e^b.

Bei einem Kapital von 1.000 € mit 5 % Zins liefert die Exponentialregression b = 0,0488 und damit den Faktor e^0,0488 = 1,05, also 5 % je Jahr.

Zu den Werten 1, 2, 4 und 8 passt y = 1 · e^(0,6931 · x) = 2^x mit R² = 1; die Gerade kommt dort nur auf 0,92. Das Modell verlangt y > 0, weil der Rechner über ln y linearisiert.

Erkennbar ist der Bedarf an den Residuen der Geraden: Sie sind erst positiv, dann negativ, dann wieder positiv, die Punkte biegen sich also von der Geraden weg.

Für Sättigung mit Obergrenze ist die Exponentialkurve ungeeignet, denn sie wächst ohne Grenze und läuft bei großem x schnell auf riesige Werte zu.

Darf ich über meine Daten hinaus prognostizieren?

Technisch ja, inhaltlich nur mit Vorsicht. Der Rechner liefert ŷ für jedes x, kennzeichnet Werte außerhalb deiner x-Spanne aber als Extrapolation, denn die Gerade ist nur im beobachteten Bereich belegt.

Im Eiscafé-Beispiel gilt sie für 14 bis 28 °C; bei 30 °C ergibt sie 114,36 Becher, bei 0 °C dagegen −29,75 Becher, was unmöglich ist. Je weiter du hinausgehst, desto stärker wirken schon kleine Fehler in Steigung und Achsenabschnitt.

Der Rechner berechnet keine Prognoseintervalle: Der Standardfehler 1,65 beschreibt nur die Streuung der Datenpunkte, nicht die Unsicherheit einer weit entfernten Prognose.

Prüfe, ob der Zusammenhang außerhalb der Daten plausibel weitergilt, ob es Sättigung oder Obergrenzen gibt, und miss nach Möglichkeit einen neuen Punkt am Rand.

Bei der Parabel laufen die Werte außerhalb der Daten besonders schnell davon, weil das quadratische Glied dort dominiert und kein Schutz vor unsinnigen Werten besteht.

Wie lese ich die Residuentabelle?

Das Residuum ist y − ŷ, also gemessener minus berechneter Wert.

In der Beispielreihe lauten die fünf Residuen 0,06; −0,13; 0,18; −0,21 und 0,10: Sie wechseln das Vorzeichen, sind klein im Vergleich zu den y-Werten und ergeben die Summe 0, wie es bei der Geraden mit Achsenabschnitt sein muss.

Das spricht für ein passendes Modell. Warnzeichen gibt es drei. Erstens ein Muster, etwa erst nur positive, dann nur negative Werte; dann ist eine Kurve besser als die Gerade.

Zweitens ein einzelnes Residuum, das die anderen weit übertrifft; prüfe diesen Punkt auf einen Messfehler, bevor du ihn entfernst.

Drittens Residuen, die mit wachsendem x größer werden, denn dann streuen die Daten ungleichmäßig, und der Standardfehler gilt nicht überall gleich.

Die Tabelle zeigt bis zu 50 Zeilen; alle Kennzahlen beruhen auf allen Paaren, auch auf denen, die nicht angezeigt werden.

Warum ergeben x auf y und y auf x verschiedene Geraden?

Die Regression minimiert die senkrechten Abstände in y-Richtung. Vertauschst du die Rollen, minimiert sie die waagerechten Abstände, und das ist ein anderes Problem.

Für die Beispielreihe ergibt y auf x die Steigung b = 1,99; mit vertauschten Listen lautet die Gleichung ŷ = −0,0170 + 0,5012 · x. Der Kehrwert 1 / 0,5012 = 1,9954 ist nicht 1,99, und das Produkt beider Steigungen, 1,99 · 0,5012, ergibt R² = 0,9973.

Nur bei R² = 1, also bei Punkten genau auf einer Geraden, fallen beide Geraden zusammen. Entscheide deshalb vor der Eingabe, welche Größe du erklären oder vorhersagen willst: Sie gehört in die y-Liste.

Wer aus der Verkaufszahl die Temperatur zurückrechnen will, darf die Gleichung nicht einfach umstellen, sondern sollte die Listen tauschen und neu rechnen.

Der Unterschied fällt bei sehr gut passenden Daten klein aus, bei stark streuenden Daten dagegen groß; mit R² = 0,50 wäre das Produkt der Steigungen nur noch 0,50.

Mein r ist −0,95: Ist die Regression schlecht?

Nein, im Gegenteil. Das Vorzeichen von r gibt nur die Richtung an: Bei r = −0,95 fällt y, wenn x wächst.

Die Stärke steckt im Betrag. |r| = 0,95 liegt weit über Cohens Marke 0,50 für einen großen Zusammenhang (1988), und R² = r² = 0,9025 heißt, dass die Gerade rund 90 % der Streuung erklärt.

Ein Beispiel ist der Schallpegel mit r = −1: Verdoppelst du die Entfernung von 1 m auf 2 m, sinkt der Pegel von 80 auf 73,98 dB, also um 6,02 dB je Verdopplung.

Schlecht wird eine Regression erst, wenn der Betrag von r klein ist oder die Residuen ein Muster zeigen.

Bei der Parabel gibt der Rechner kein r aus, weil es nur geradlinige Zusammenhänge misst, und bei Exponential- und Potenzmodell bezieht es sich auf die linearisierten Daten. Vergleiche Modelle dort besser über R² auf der y-Skala.

Hinweise

Regression richtig lesen: Steigung, R², Residuen und Prognose

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Lies zuerst die Steigung: b = 1,99 heißt, dass y im Mittel um 1,99 steigt, wenn x um 1 wächst. Der Achsenabschnitt a = 0,05 ist der Wert bei x = 0 und nur sinnvoll, wenn x = 0 im Messbereich liegt.

R² = 0,9973 bedeutet, dass die Gerade 99,7 % der Streuung der y-Werte erklärt; r = 0,9987 liegt nach den Konventionen von Cohen (1988) weit im Bereich „groß“ ab 0,50.

Der Standardfehler 0,1889 zeigt, wie weit ein Punkt typischerweise von der Geraden entfernt liegt. Ein negatives r wie −0,95 bedeutet nur eine fallende Gerade, keine schlechte Anpassung.

Entscheidend ist die Residuentabelle: Die Abweichungen 0,06; −0,13; 0,18; −0,21 und 0,10 wechseln das Vorzeichen und zeigen kein Muster. Folgen dagegen erst nur positive, dann nur negative Residuen, passt das Modell nicht, auch bei hohem R².

Die Prognose ŷ(6) = 11,99 liegt außerhalb der Daten von 1 bis 5 und ist eine Extrapolation.

Bei exponentiell und Potenz zeigt der Rechner neben R² auf der y-Skala auch das R² der linearisierten Daten, das Tabellenkalkulationen für Trendlinien nennen; beide können auseinanderlaufen.

Bei der Parabel öffnet ein negatives c die Kurve nach unten, der Scheitel liegt bei x = −b / (2c). Zinseszinsreihe 1.000 € bei 5 %: Die Gerade hat R² = 0,9987 und prognostiziert 1.547,88 €, die exponentielle Kurve trifft 1.628,90 € Ein hohes R² beweist die Modellwahl nicht: Bei einer Zinseszinsreihe erreicht sogar die Gerade 0,9987, verfehlt aber die Prognose für Jahr 10 um rund 81 Euro.

Anwendung

Praxisbeispiel: Wie viele Eisbecher bei 30 °C?

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Ein Eiscafé will wissen, wie viele Becher für die nächste Hitzewelle zu bestellen sind, und notiert dafür an acht Tagen die Mittagstemperatur in °C und die verkauften Eisbecher: 14 °C → 38, 16 → 47, 18 → 55, 20 → 68, 22 → 74, 24 → 88, 26 → 95 und 28 °C → 104.

Die Inhaberin trägt die Temperaturen als x-Werte und die Becher als y-Werte ein, wählt „linear“ und setzt die Prognose auf 30. Mit x̄ = 21, ȳ = 71,125, Sxx = 168 und Sxy = 807 ergibt sich b = 4,8036 und a = −29,75, also ŷ = −29,75 + 4,80 · x.

R² beträgt 0,9958, der Standardfehler 1,65 Becher. Im Schnitt weicht ein Tag also um etwa 1,65 Becher von der Geraden ab; am weitesten daneben liegt der Tag mit 24 °C mit 2,46 Bechern. Eisbecher-Verkauf bei acht Temperaturen von 14 bis 28 °C mit Regressionsgerade; ein einzelner Regentag senkt R² von 0,9958 auf 0,7834 Die Prognose für 30 °C lautet 114,36 Becher.

Weil 30 °C über den beobachteten 28 °C liegt, plant sie mit etwa 115 Bechern plus Puffer und schaut nach den ersten heißen Tagen, ob die Gerade hält.

Pro Grad mehr kalkuliert sie rund fünf Becher zusätzlich; zwischen 28 °C (104,75 Becher laut Gerade) und 30 °C (114,36) liegen knapp zehn Becher. Die negative Zahl bei 0 °C ignoriert sie bewusst: Die Gerade gilt nur im Bereich von 14 bis 28 °C.

Fiele der Wert bei 28 °C wegen Regen auf 74, sänke R² auf 0,7834 und die Steigung auf 3,5536; diesen Tag würde sie dann getrennt betrachten und nicht in die Prognose einrechnen.

Fallstricke

Fünf typische Fehler bei der Regression

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Fehler 1: R² nahe 1 für den Beweis des richtigen Modells halten. Die Reihe 1.000; 1.050; 1.102,50; 1.157,63; 1.215,51; 1.276,28 über sechs Jahre ergibt als Gerade R² = 0,9987 und für Jahr 10 nur 1.547,88 €, exponentiell aber 1.628,90 €.

Fehler 2: x und y vertauschen. Für die Beispielreihe liefert die Regression von y auf x die Steigung 1,99, die von x auf y aber 0,5012; der Kehrwert 1,9954 weicht ab, und das Produkt beider Steigungen ist R² = 0,9973.

Fehler 3: Einen Ausreißer übersehen. Sinkt im Eisbecher-Beispiel der letzte Wert von 104 auf 74, fällt R² von 0,9958 auf 0,7834 und die Steigung von 4,8036 auf 3,5536. Fehler 4: Die Gerade über die Daten hinaus ziehen.

Bei 0 °C ergibt dieselbe Gerade −29,75 Becher; sie gilt nur zwischen 14 und 28 °C, außerhalb brauchst du neue Messungen.

Fehler 5: Aus einer hohen Korrelation auf eine Ursache schließen. r = 0,9979 sagt nur, dass beide Größen gemeinsam laufen, nicht, dass die Temperatur den Kauf verursacht. Fehler 6: Nullen in ein ln-Modell stecken.

Ein y von 0 macht das exponentielle Modell und das Potenzmodell unmöglich; der Rechner meldet die Stelle, statt still zu runden. Wechsle dann das Modell oder prüfe den Wert.

Nächster Schritt

Lineare-Regression-Rechner: Fazit, Quellen und Grenzen

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Rechner macht aus zwei Zahlenlisten die Regressionsgerade oder eine von vier Kurven, dazu R², Korrelationskoeffizient, Standardfehler, Prognose, Residuentabelle und Rechenweg.

Entscheidend sind gleich lange Listen, das passende Modell und der Blick auf die Residuen statt nur auf R². Alle Zahlen stammen aus der Rechenfunktion der Seite. Grundlage sind Fahrmeir u. a. (Statistik, 8. Aufl.

2016), das NIST/SEMATECH e-Handbook (2012, Abschnitte 4.4.3.1 und 4.1.4.1) und für die Stärke-Einordnung Cohen (1988).

Grenzen: Exponentiell und Potenz werden über Logarithmen linearisiert, es gibt keine Konfidenzintervalle und Signifikanztests, und Prognosen außerhalb der Daten sind unsicher. Stand der Prüfung: 09.10.2026.

Als Nächstes lohnt der Blick auf die Standardabweichung der y-Werte, den Durchschnitt oder die lineare Interpolation für Werte zwischen zwei Punkten. Bei Zweifeln zeichne die Punkte auf: Ein Muster in den Residuen schlägt jedes R².

Vertiefung

Rechenbeispiele: Gerade, Wachstum, Potenz, Parabel und Logarithmus

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · ŷ = −29,75 + 4,8036 · x, R² = 0,9958, Standardfehler 1,65, ŷ(30) = 114,36

Eisbecher und Mittagstemperatur

x-Werte (unabhängige Größe)
14 16 18 20 22 24 26 28
y-Werte (abhängige Größe)
38 47 55 68 74 88 95 104
Regressionsmodell
Linear: y = a + b · x
Prognose für x (optional)
30

Beispiel 2 · Mittel · ŷ = 1 · e^(0,6931 · x) = 2^x, R² = 1, ŷ(10) = 1.024

Verdopplung exponentiell

x-Werte (unabhängige Größe)
0 1 2 3
y-Werte (abhängige Größe)
1 2 4 8
Regressionsmodell
Exponentiell: y = a · e^(b · x), y > 0
Prognose für x (optional)
10

Beispiel 3 · Komplex · ŷ = 1.000,00 · e^(0,0488 · x), R² > 0,99999, ŷ(10) = 1.628,90 €

Zinseszins von 1.000 € bei 5 % exponentiell

x-Werte (unabhängige Größe)
0 1 2 3 4 5
y-Werte (abhängige Größe)
1000 1050 1102,5 1157,63 1215,51 1276,28
Regressionsmodell
Exponentiell: y = a · e^(b · x), y > 0
Prognose für x (optional)
10

Beispiel 4 · Komplex · ŷ = 3,1405 · x^2,0004, R² > 0,99999, ŷ(5) = 78,56

Kreisfläche als Potenzmodell

x-Werte (unabhängige Größe)
1 2 3 4
y-Werte (abhängige Größe)
3,14 12,57 28,27 50,27
Regressionsmodell
Potenz: y = a · x^b, x > 0 und y > 0
Prognose für x (optional)
5

Beispiel 5 · Komplex · ŷ = 20 · x − 5 · x², R² = 1, ŷ(2,5) = 18,75

Wurfhöhe als Parabel

x-Werte (unabhängige Größe)
0 0,5 1 1,5 2 3
y-Werte (abhängige Größe)
0 8,75 15 18,75 20 15
Regressionsmodell
Quadratisch: y = a + b · x + c · x²
Prognose für x (optional)
2,5

Beispiel 6 · Komplex · ŷ = 80 − 8,6850 · ln(x), R² = 1, r = −1, ŷ(32) = 49,9 dB

Schallpegel logarithmisch

x-Werte (unabhängige Größe)
1 2 4 8 16
y-Werte (abhängige Größe)
80 73,98 67,96 61,94 55,92
Regressionsmodell
Logarithmisch: y = a + b · ln(x), x > 0
Prognose für x (optional)
32

Weiterführende Rechner und Themen

Alle Anschlussrechner und Vertiefungen in einem klaren Modul, damit du direkt zur nächsten sinnvollen Berechnung springen kannst.

Varianz-RechnerVarianz und Standardabweichung einer Datenmenge berechnen – Stichprobenvarianz und Grundgesamtheit.MedianrechnerMedian und Modus einer Wertegruppe berechnen – inklusive Sortierung und Einordnung.Z-Wert-RechnerZ-Score z = (x−μ)/σ und Percentilrang der Standardnormalverteilung berechnen.Lineares GleichungssystemLineare 2x2-Gleichungssysteme mit Rechenweg lösen.PerzentilrechnerBeliebiges Perzentil sowie Quartile Q1, Median und Q3, Interquartilsabstand, Minimum und Maximum aus einer Zahlenliste berechnen.Gini-Koeffizient-RechnerGini-Koeffizient berechnen aus einer Werteliste oder aus klassierten Daten: Gini, normierter Gini, Gini-Index, Anteil der obersten 10 und 20 Prozent und Lorenzkurven-Tabelle mit Rechenweg.t-Test-Rechnert-Test berechnen: Einstichproben-, gepaarter und Zweistichproben-Test (Welch oder gleiche Varianzen) aus Kennzahlen oder Rohdaten – mit p-Wert, kritischem t-Wert, Entscheidung und t-Tabelle.Freiheitsgrade-RechnerFreiheitsgrade (df) für t-Test, Welch-Test, χ²-Unabhängigkeits- und Anpassungstest, ANOVA, Regression und Varianz berechnen – mit Formel, kritischem Wert zum Signifikanzniveau α und Tabelle der kritischen t-Werte.Korrelation-RechnerKorrelation berechnen: Pearson r oder Spearman ρ aus Datenpaaren – mit r², t-Test, p-Wert, Konfidenzintervall nach Fisher, Stärke nach Cohen, Regressionsgerade und Rechentabelle je Paar.Binomialverteilung-RechnerBinomialverteilung berechnen: P(X=k), P(X<=k), P(X>=k) fuer Bernoulli-Ketten mit Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.AQL-TabelleAQL-Stichprobenplan nach ISO 2859-1 berechnen: Losgröße und Prüfniveau eingeben, Kennbuchstabe, Stichprobenumfang, Annahmezahl und Rückweisezahl für Normal-, verschärfte und reduzierte Prüfung ermitteln.Häufigkeit-RechnerRelative Häufigkeit berechnen: aus einer Urliste oder aus h und n die Häufigkeitstabelle mit absoluter, relativer, prozentualer und kumulierter Häufigkeit, Modalwert und gekürztem Bruch, wahlweise mit Klassen.Odds-Ratio-RechnerOdds Ratio (Chancenverhältnis) aus der Vierfeldertafel berechnen: mit Konfidenzintervall nach Woolf, Haldane-Korrektur bei Nullzellen, relativem Risiko, Risikodifferenz und NNT.Stichprobengröße-RechnerStichprobengröße berechnen für Umfragen (Anteil), Mittelwerte und den Vergleich zweier Gruppen (Poweranalyse) – mit Endlichkeitskorrektur, Rücklaufquote, Rechenweg und Tabelle nach Fehlermarge und Konfidenzniveau.Kritischer-Wert-RechnerKritischen Wert und p-Wert für z, t, χ² und F berechnen: ein- oder zweiseitig, mit Ablehnungsbereich, Testentscheidung und t-Wert-Tabelle.

Weiternutzung

Grafiken weiterverwenden

Alle 3 Grafiken dieser Seite darfst du in eigenen Artikeln und Beiträgen verwenden.

Nutzung frei, wenn du rechner-portal.de als Quelle verlinkst. CC BY 4.0

  • Regressionsgerade ŷ = 0,05 + 1,99 · x durch fünf Messpunkte mit R² = 0,9973 und den Residuen 0,06, −0,13, 0,18, −0,21 und 0,10

    Regressionsgerade durch fünf Messpunkte mit Residuen

    760 × 360 Pixel · Schaubild

    Herunterladen

    Einbettungscode

    HTML zum Einbinden

    <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner">
  <img src="https://rechner-portal.de/images/mathematik/lineare-regression-rechner-gerade.svg"
       alt="Regressionsgerade ŷ = 0,05 + 1,99 · x durch fünf Messpunkte mit R² = 0,9973 und den Residuen 0,06, −0,13, 0,18, −0,21 und 0,10"
       width="760" height="360">
</a>
<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner">Regressionsgerade durch fünf Messpunkte mit Residuen auf Rechner-Portal</a></p>

    Textbaustein für die Bildunterschrift

    Quelle: Rechner-Portal (rechner-portal.de) — https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner
  • Zinseszinsreihe über fünf Jahre: Die Gerade hat R² 0,9987 und prognostiziert 1.547,88 Euro für Jahr 10, die Exponentialkurve 1.628,90 Euro

    Gerade und Exponentialkurve für dieselbe Zinsreihe im Vergleich

    760 × 360 Pixel · Schaubild

    Herunterladen

    Einbettungscode

    HTML zum Einbinden

    <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner">
  <img src="https://rechner-portal.de/images/mathematik/lineare-regression-rechner-modellvergleich.svg"
       alt="Zinseszinsreihe über fünf Jahre: Die Gerade hat R² 0,9987 und prognostiziert 1.547,88 Euro für Jahr 10, die Exponentialkurve 1.628,90 Euro"
       width="760" height="360">
</a>
<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner">Gerade und Exponentialkurve für dieselbe Zinsreihe im Vergleich auf Rechner-Portal</a></p>

    Textbaustein für die Bildunterschrift

    Quelle: Rechner-Portal (rechner-portal.de) — https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner
  • Eisbecher und Mittagstemperatur: Die Regressionsgerade hat R² 0,9958, mit einem Regentag bei 28 Grad nur 0,7834

    Regressionsgerade mit und ohne Regentag im Eiscafé

    760 × 360 Pixel · Schaubild

    Herunterladen

    Einbettungscode

    HTML zum Einbinden

    <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner">
  <img src="https://rechner-portal.de/images/mathematik/lineare-regression-rechner-eiscafe.svg"
       alt="Eisbecher und Mittagstemperatur: Die Regressionsgerade hat R² 0,9958, mit einem Regentag bei 28 Grad nur 0,7834"
       width="760" height="360">
</a>
<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner">Regressionsgerade mit und ohne Regentag im Eiscafé auf Rechner-Portal</a></p>

    Textbaustein für die Bildunterschrift

    Quelle: Rechner-Portal (rechner-portal.de) — https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner

Quellen, Transparenz und Haftung

Haftungsausschluss

Die Ergebnisse dieses Rechners sind Orientierungswerte und ersetzen keine professionelle Beratung. Für verbindliche Entscheidungen – insbesondere in finanziellen, gesundheitlichen oder rechtlichen Angelegenheiten – empfehlen wir die Einholung fachkundiger Beratung. Aktuelle Vertrags-, Produkt- und Regulierungsdaten können von den Rechenwerten abweichen.

Rechnerspezifische Grenzen: Der Rechner liefert die rechnerisch beste Kurve durch die eingegebenen Datenpaare. Er prüft weder, ob das gewählte Modell zu den Daten passt, noch ob ein Zusammenhang ursächlich ist. Prognosen außerhalb der Daten sind Extrapolationen und unsicher.

Quelle: Statistik: Regressionsanalyse nach der Methode der kleinsten Quadrate nach Fahrmeir u. a. (2016) und NIST/SEMATECH e-Handbook (2012); Stand Oktober 2026.

Stand: 2026-10-09

Externe Fachquellen
Qualitätsnachweise
Verantwortlich
Kilian Achatz
Herausgeber
Rechner-Portal
Letzte fachliche Prüfung
09. Oktober 2026
Fachbereich
Mathematik / Statistik
Formeln basieren auf
Linear: b = Sxy / Sxx mit Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ); a = ȳ − b · x̄; r = Sxy / √(Sxx · Syy); R² = 1 − SSres / SStot mit SSres = Σ(y − ŷ)², SStot = Σ(y − ȳ)²; Standardfehler s = √(SSres / (n − 2)). Exponentiell und Potenz über ln y (bzw. ln x und ln y) linearisiert, logarithmisch über ln x; quadratisch über die 3×3-Normalgleichungen mit s = √(SSres / (n − 3)).
Zitation & Richtlinien

APA-Format

Rechner-Portal (2026). Lineare Regression berechnen. Abgerufen von https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner

Harvard-Format

Rechner-Portal, 2026. Lineare Regression berechnen. Available at: https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/lineare-regression-rechner

Werbestatus

Mögliche Werbung hat keinen Einfluss auf Rechenweg, Ergebnis oder Priorisierung dieses Rechners.