De-Broglie-Wellenlänge Rechner: Elektron, Proton, Neutron

Ein Elektron, das aus der Ruhe 100 Volt durchlaufen hat, besitzt eine De-Broglie-Wellenlänge von 122,6 Pikometern, das sind 0,1226 Nanometer.

Der Weg dahin: Die kinetische Energie ist E = e · U = 100 eV = 1,602 · 10⁻¹⁷ J, daraus folgt der Impuls p = √(2 · m · E) = 5,403 · 10⁻²⁴ kg·m/s, und die Planck-Konstante geteilt durch p ergibt λ = 6,626 · 10⁻³⁴ ÷ 5,403 · 10⁻²⁴ = 1,226 · 10⁻¹⁰ m.

Als Faustformel für Elektronen gilt λ ≈ 1,226 Nanometer geteilt durch die Wurzel aus der Spannung in Volt; bei 100 V also 1,226 ÷ 10.

Die Geschwindigkeit liegt bei 1,98 Prozent der Lichtgeschwindigkeit, die relativistische Korrektur ändert das Ergebnis nur um 0,00489 Prozent. Bei 54 V, dem Wert aus dem Versuch von Davisson, sind es 166,9 pm.

Für eine Prüfungsaufgabe genügt dieser Weg mit vier signifikanten Stellen. Stelle im Rechner das Teilchen Elektron, den Modus Beschleunigungsspannung und 100 V ein, um die Zahlen selbst zu prüfen.

Als Faustregel ab etwa 10 Prozent der Lichtgeschwindigkeit, bei Elektronen entspricht das einer kinetischen Energie von rund 2,574 keV.

Bei 10 Prozent von c liegt die klassische Wellenlänge 0,504 Prozent über dem richtigen Wert (24,26 pm statt 24,14 pm).

Für Elektronen nach einer Beschleunigungsspannung gilt: 100 V bringen nur 0,00489 Prozent Abweichung, 10 kV schon 0,488 Prozent, 100 kV 4,78 Prozent, 200 kV 9,35 Prozent und 1 MV sogar 40,7 Prozent.

Bei schweren Teilchen kommt die Grenze später: Ein Proton mit 1 keV läuft mit 0,146 Prozent von c, dort stimmt die klassische Rechnung auf mehr als sechs Stellen.

Lass im Rechner die relativistische Korrektur auf „Ja“, denn sie ist bei kleinen Energien mit der Schulformel identisch und bei hohen Energien allein richtig.

Nur wenn du die Schulformel prüfen willst, stellst du „Nein“ ein und liest die Abweichung ab. Die Zeile „Klassisch gegen relativistisch“ nennt dir den Unterschied für deine Eingabe direkt.

Weil sein Impuls im Vergleich zur Planck-Konstante gewaltig ist. Ein Ball von 0,1 kg bei 10 m/s hat p = 1 kg·m/s und damit λ = 6,626 · 10⁻³⁴ m. Das ist rund 10¹⁸-mal kleiner als ein Atomkern, dessen Größenordnung bei 10⁻¹⁵ m liegt.

Beugung braucht eine Struktur, deren Abstand zur Wellenlänge passt; für λ = 6,626 · 10⁻³⁴ m gibt es keine. Die Fehlannahme lautet also nicht „Bälle haben keine Welle“, sondern „die Welle lässt sich nicht beobachten“.

Rechnerisch gilt die Beziehung λ = h ÷ p für jeden Körper, und sie liefert für Alltagsgegenstände Werte, die Messgeräte nie auflösen.

Probiere es mit der Option „Eigene Masse“ aus: Trägst du 0,1 kg und 10 m/s ein, erscheint 6,626E-34 m; verdoppelst du Masse oder Tempo, halbiert sich die Wellenlänge.

Ein Elektron mit nur 1 eV kommt dagegen auf 1,226 nm, weil seine Masse bei 9,109 · 10⁻³¹ kg liegt und der Impuls winzig bleibt.

Bei gleicher kinetischer Energie ist der Impuls p = √(2 · m · E) proportional zur Wurzel aus der Masse. Das Proton ist rund 1.836-mal schwerer als das Elektron und hat deshalb den rund 42,9-fachen Impuls, seine Wellenlänge ist entsprechend kürzer.

Bei 100 eV ergibt der Rechner für das Elektron 122,6 pm, für das Proton 2,862 pm, für das Neutron 2,86 pm und für das Alphateilchen 1,436 pm. Neutron und Proton liegen fast gleichauf, weil ihre Massen nur um etwa 0,14 Prozent abweichen.

Wichtig für den Vergleich: Wähle den Modus „kinetische Energie“, nicht „Beschleunigungsspannung“. Eine Spannung von 100 V gibt dem Alphateilchen wegen der Ladung 2e nämlich 200 eV, und der Vergleich bei gleicher Energie wäre verfälscht.

Das Verhältnis 122,6 ÷ 2,862 = 42,8 bestätigt die Wurzelregel; beim Alphateilchen mit rund 7.294-facher Elektronenmasse sind es 122,6 ÷ 1,436 = 85,4. Je schwerer das Teilchen, desto kürzer die Welle bei gleicher Energie.

Eine Beschleunigungsspannung wirkt nur auf elektrische Ladung: E = Ladungszahl · e · U. Das Neutron hat die Ladung 0 und gewinnt in einem elektrischen Feld keine Energie, jede eingegebene Spannung würde also zu einer falschen Wellenlänge führen.

Statt einer irreführenden Zahl zeigt der Rechner deshalb einen Hinweis. Für Neutronen wählst du den Modus „kinetische Energie“ oder „Geschwindigkeit“. Bei 0,025 eV, etwa der Bewegungsenergie bei Raumtemperatur, ergibt sich λ = 180,9 pm bei 2.187 m/s.

Das liegt in der Größenordnung von Atomabständen im Kristall, und deshalb lassen sich langsame Neutronen wie Elektronen an Kristallen beugen.

Für mehrfach geladene Teilchen gilt dagegen die Spannung, mit der Ladungszahl als Faktor: Das Alphateilchen erreicht bei 1.000 V die Energie 2 keV und λ = 321,1 fm.

Merke: Aus der Spannung entsteht Energie nur über die Ladung; 100 V ergeben 100 eV bei Ladungszahl 1, 200 eV bei Ladungszahl 2 und 0 eV beim Neutron.

Die Wellenlänge muss zum Netzebenenabstand d passen, denn die Bragg-Bedingung n · λ = 2 · d · sin θ ist nur für λ ≤ 2d erfüllbar. Bei Kristallen liegen die Abstände bei einigen Zehntel Nanometern.

Ein Elektron mit 54 V hat 166,9 pm, eines mit 100 V 122,6 pm, bei 10 V sind es 387,8 pm; die Werte passen zum Gitter.

Clinton Davisson arbeitete in seinem Versuch mit einem 54-Volt-Strahl und verglich die aus den Beugungswinkeln berechneten Wellenlängen mit λ = h ÷ p (Nobelvortrag 1937).

Bei 100 kV sind es nur 3,701 pm; mit angenommen d = 0,2 nm ergibt sich sin θ = 3,701 ÷ 400 und damit ein Beugungswinkel von rund 0,53 Grad.

Wähle also für Kristalle Spannungen von etwa 10 V (387,8 pm) bis 1 kV (38,76 pm) und prüfe das Ergebnis mit dem Rechner.

Liegt λ über 2d, entsteht keine Bragg-Reflexion mehr; liegt es weit darunter, drängen sich die Reflexe unter sehr kleinen Winkeln.

Ja, die Beziehung ist dieselbe, nur der Impuls entsteht anders. Ein Photon hat keine Masse und den Impuls p = E ÷ c, daraus folgt λ = h · c ÷ E.

Ein Photon mit 1 eV hat λ = 1.239,8 nm (aus h · c ÷ e = 1,239841984 · 10⁻⁶ V·m mit den exakten Konstanten).

Ein Elektron mit 1 eV kommt dagegen nur auf 1,226 nm, weil es bei gleicher Energie rund 1.011-mal mehr Impuls trägt, nämlich 5,403 · 10⁻²⁵ kg·m/s. Dieser Rechner ist für Teilchen mit Masse gedacht und verlangt deshalb ein Teilchen oder eine Masse.

Für Licht und Wellen im Medium rechnest du mit Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit nach c = f · λ, für die Strahlenoptik mit dem Linsen-Rechner oder dem Brechungs-Rechner.

Wer die Wellenlänge eines Teilchens aus einer Photonenformel ableitet, setzt die falsche Beziehung zwischen Energie und Impuls ein. Beim Photon entfällt außerdem das Glied mit der Ruhemasse, es gibt keine Wurzel aus 2 · m · E.

Der Rechner nutzt die CODATA-Empfehlung 2022 (NIST, veröffentlicht 2024). Die Planck-Konstante h = 6,62607015 · 10⁻³⁴ J·s, die Elementarladung e = 1,602176634 · 10⁻¹⁹ C und die Lichtgeschwindigkeit c = 299.792.458 m/s sind exakt festgelegt.

Die Teilchenmassen tragen kleine Unsicherheiten: Elektron 9,1093837139 · 10⁻³¹ kg, Proton 1,67262192595 · 10⁻²⁷ kg, Neutron 1,67492750056 · 10⁻²⁷ kg, Alphateilchen 6,6446573450 · 10⁻²⁷ kg und die atomare Masseneinheit 1,66053906892 · 10⁻²⁷ kg.

Diese Unsicherheiten betreffen erst die zehnte Stelle und verändern die angezeigten vier Stellen nicht.

Rechnet dein Lehrbuch mit gerundeten Werten wie 6,63 · 10⁻³⁴ J·s, weicht dein Ergebnis in der dritten bis vierten Stelle ab; nimm dann dieselben Konstanten wie der Rechner, wenn du Ergebnisse vergleichst.

Bei Prüfungsaufgaben mit vorgegebenen Konstanten rechnest du mit deren Rundung und erhältst entsprechend eine leicht andere letzte Stelle. Quelle: physics.nist.gov/cuu/Constants, abgerufen am 09.10.2026.

Die Rundung auf vier signifikante Stellen betrifft nur die Anzeige; intern rechnet der Rechner mit allen Stellen der Konstanten.