Brechungswinkel und Grenzwinkel der Totalreflexion online berechnen

Den Brechungswinkel berechnest du mit dem snelliusschen Brechungsgesetz n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂. Nach dem gesuchten Winkel umgestellt ergibt sich α₂ = arcsin(n₁ · sin α₁ / n₂).

Du brauchst dafür den Einfallswinkel α₁ zum Lot sowie die Brechungsindizes beider Medien.

Beispiel: Beim Übergang von Luft (n₁ = 1,0) in Wasser (n₂ = 1,33) wird ein Einfallswinkel von 30 Grad zu sin α₂ = 1,0 · sin 30° / 1,33 = 0,376, also α₂ = arcsin(0,376) ≈ 22 Grad.

Der Strahl wird zum Lot hin gebrochen, weil Wasser optisch dichter ist als Luft. Der Rechner übernimmt arcsin und Umstellung automatisch.

Über den Brechungsrechner gibst du n₁, n₂ und den Einfallswinkel in die Felder ein; er liefert den Brechungswinkel, den Grenzwinkel und optional den Reflexionswinkel in einem Schritt.

Der Reflexionswinkel ist dabei stets gleich dem Einfallswinkel, während der Brechungswinkel allein vom Indexverhältnis der Medien abhängt.

Das snelliussche Brechungsgesetz lautet n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂ und ist nach dem niederländischen Mathematiker Willebrord Snellius benannt.

Dabei sind n₁ und n₂ die Brechungsindizes der beiden Medien, α₁ der Einfallswinkel und α₂ der Brechungswinkel, jeweils gemessen zum Lot auf die Grenzfläche.

Das Gesetz beschreibt, dass das Produkt aus Brechungsindex und Sinus des Winkels beim Übergang über eine Grenzfläche konstant bleibt. Geht Licht in ein optisch dichteres Medium über, wird es zum Lot hin gebrochen, im umgekehrten Fall vom Lot weg.

Aus diesem Grundgesetz leiten sich Brechungswinkel, Grenzwinkel und Totalreflexion ab. Es gilt für jede ebene Grenzfläche zwischen zwei homogenen Medien und bildet die Grundlage für Prismen, Linsen und Lichtwellenleiter.

Im Brechungsrechner kannst du alle vier Größen n₁, n₂, α₁ und α₂ eingeben und löst damit wahlweise nach dem Brechungswinkel oder einem unbekannten Brechungsindex auf.

Das Gesetz gilt streng genommen nur für ebene, isotrop-homogene Grenzflächen ohne Absorption.

Die Formel für das Brechungsgesetz ist n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂. Möchtest du den Brechungswinkel berechnen, stellst du sie zu α₂ = arcsin(n₁ · sin α₁ / n₂) um.

Suchst du dagegen einen unbekannten Brechungsindex, ergibt sich zum Beispiel n₂ = n₁ · sin α₁ / sin α₂. Die Winkel werden stets zum Lot gemessen, nicht zur Oberfläche.

Ein typischer Richtwertesatz für die Brechungsindizes: Luft 1,00, Wasser 1,33, Glas etwa 1,5 und Diamant 2,42. Mit diesen Werten und der Formel lassen sich alle Standardaufgaben zur Lichtbrechung an einer einzelnen ebenen Grenzfläche lösen.

Achte stets darauf, die Winkel im Gradmaß zum Lot einzusetzen und die Reihenfolge der Medien nicht zu vertauschen, da sonst Einfalls- und Brechungswinkel verwechselt werden.

Der Brechungsrechner erledigt die Umstellung automatisch: Wähle das gesuchte Feld, trage die drei bekannten Werte ein und erhalte das Ergebnis sofort.

Konkretes Beispiel: Licht tritt mit 30 Grad Einfallswinkel von Luft (n₁ = 1,0) in Glas (n₂ = 1,5) ein – es gilt sin θ₂ = 0,5 / 1,5 ≈ 0,333, also θ₂ ≈ 19,5 Grad.

Einfallswinkel und Brechungswinkel sind über das snelliussche Brechungsgesetz n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂ miteinander verknüpft.

Ist das zweite Medium optisch dichter, also n₂ größer als n₁, so ist der Brechungswinkel kleiner als der Einfallswinkel und der Strahl knickt zum Lot hin.

Ist das zweite Medium optisch dünner, ist der Brechungswinkel größer und der Strahl wird vom Lot weg gebrochen. Beide Winkel werden zum Lot gemessen. Bei senkrechtem Einfall mit α₁ = 0 Grad bleibt der Strahl ungebrochen, weil sin 0° = 0 ist.

Je größer der Indexunterschied zwischen beiden Medien ist, desto stärker fällt die Richtungsänderung des Strahls aus. Dieser Zusammenhang erklärt, warum ein Stab im Wasser geknickt erscheint und warum Linsen Licht bündeln können.

Im Brechungsrechner kannst du beide Winkel numerisch vergleichen, indem du n₁, n₂ und α₁ eingibst und das Tool α₂ automatisch berechnet.

Für Glasfaserkabel werden Brechungsindizes gezielt so gewählt, dass der Einfallswinkel immer oberhalb des Grenzwinkels liegt.

Beim Übergang von Luft (n₁ = 1,0) in Wasser (n₂ = 1,33) ist der Brechungswinkel deutlich kleiner als der Einfallswinkel, weil Wasser optisch dichter ist. Für einen Einfallswinkel von 30 Grad ergibt sich α₂ = arcsin(1,0 · sin 30° / 1,33) ≈ 22 Grad.

Bei 45 Grad Einfall sind es etwa 32 Grad, bei 60 Grad rund 40,6 Grad. Der Strahl wird also stets zum Lot hin gebrochen. Den höchstmöglichen Brechungswinkel in Wasser erreicht streifender Einfall nahe 90 Grad mit etwa 48,6 Grad.

Genau dieser Wert entspricht dem Grenzwinkel der Totalreflexion für den umgekehrten Weg Wasser nach Luft. Der Brechungswinkel kann beim Übergang in das dichtere Medium also nie größer als dieser Grenzwert werden, egal wie flach der Strahl einfällt.

Im Brechungsrechner liefert der Modus „Brechungswinkel berechnen” diese Werte auf Knopfdruck, sobald du n₁ = 1,0, n₂ = 1,33 und den gewünschten Einfallswinkel einträgst.

So kannst du die Brechungskurve für den Luft-Wasser-Übergang mit wenigen Klicks durchspielen.

Der Grenzwinkel der Totalreflexion ist der Einfallswinkel, ab dem Licht beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium nicht mehr gebrochen, sondern vollständig zurückgeworfen wird.

Er berechnet sich aus αc = arcsin(n₂ / n₁) und existiert nur für n₁ größer n₂. Beim Übergang von Wasser (n₁ = 1,333) in Luft (n₂ = 1,0) liegt er bei arcsin(1,0 / 1,333) ≈ 48,6 Grad, bei Glas nach Luft je nach Glassorte bei etwa 42 Grad.

Oberhalb dieses Winkels tritt Totalreflexion auf. Auf diesem Effekt beruhen Glasfaserkabel und Lichtwellenleiter, in denen Licht verlustarm durch wiederholte Totalreflexion geführt wird.

Unterhalb des Grenzwinkels tritt dagegen weiterhin normale Brechung mit einem teilweise reflektierten Anteil auf.

Nimmst du im Brechungsrechner n₁ = 1,333 und n₂ = 1,0 und erhöhst den Einfallswinkel schrittweise, siehst du, wie der Brechungswinkel gegen 90 Grad läuft, bis der Rechner Totalreflexion meldet.

Genaue Grenzwinkelangaben aus dem Rechner erleichtern die Auslegung von Glasfasersystemen erheblich, da dort die numerische Apertur direkt aus dem Grenzwinkel folgt.

Ein Brechungsindex von 2,42 bedeutet, dass sich Licht im Diamant nur mit dem 1/2,42-fachen, also etwa 41 Prozent der Vakuumlichtgeschwindigkeit ausbreitet.

Daraus ergibt sich eine Geschwindigkeit von rund 124.000 Kilometern pro Sekunde statt 299.792 Kilometern pro Sekunde im Vakuum.

Der hohe Wert sorgt für eine starke Brechung und einen sehr kleinen Grenzwinkel der Totalreflexion von arcsin(1,0 / 2,42) ≈ 24,4 Grad.

Dadurch wird Licht im Inneren eines geschliffenen Diamanten besonders oft total reflektiert, bevor es wieder austritt, was das charakteristische Funkeln erzeugt.

Zum Vergleich: Glas hat etwa 1,5 und Wasser nur 1,33, also eine deutlich schwächere Brechung und einen größeren Grenzwinkel.

Der hohe Brechungsindex ist damit der physikalische Grund für die starke Lichtstreuung und Brillanz, die Diamanten von gewöhnlichem Glas unterscheidet.

Im Brechungsrechner kannst du mit n₁ = 2,42 und n₂ = 1,0 den Grenzwinkel von rund 24,4 Grad direkt ablesen und damit nachvollziehen, warum Diamantschliffe so viele Facetten benötigen.

Als gängige Brechungsindex-Werte für die Lichtbrechung gelten: Vakuum genau 1,00, Luft praktisch 1,00 (genauer 1,0003), Wasser rund 1,33, typisches Kron- und Fensterglas etwa 1,5 und Diamant rund 2,42.

Acrylglas liegt bei etwa 1,49, Quarzglas bei 1,46. Je höher der Brechungsindex, desto stärker wird ein Lichtstrahl beim Übergang aus Luft zum Lot hin gebrochen und desto langsamer breitet sich das Licht im Medium aus.

Diese Werte gelten für sichtbares Licht mittlerer Wellenlänge und ändern sich leicht mit Farbe und Temperatur. Für Präzisionsoptik solltest du materialgenaue, wellenlängenabhängige Werte aus Datenblättern verwenden statt pauschaler Tabellenwerte.

Mit diesen Richtwerten lassen sich aber bereits Brechungswinkel und Grenzwinkel für die typischen Schul- und Laboraufgaben zuverlässig abschätzen, etwa für die Übergänge Luft–Wasser, Luft–Glas oder Wasser–Luft.

Der Brechungsrechner enthält diese Standardwerte als Voreinstellungen, sodass du gängige Übergänge ohne manuelle Eingabe sofort durchrechnen kannst.

Für Sonderwerkstoffe wie Bleiglas oder Saphir (n ≈ 1,77) trägst du einfach einen eigenen Wert ins n-Feld ein.