Brechungswinkel und Grenzwinkel der Totalreflexion online berechnen

Den Brechungswinkel berechnest du mit dem snelliusschen Brechungsgesetz n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂, aufgelöst nach α₂ = arcsin(n₁ · sin α₁ / n₂).

Du brauchst dafür den Einfallswinkel α₁ zum Lot sowie die Brechungsindizes n₁ und n₂ beider Medien als Eingabe.

Beim Übergang von Luft (n₁ = 1,0) in Glas (n₂ = 1,5) wird ein Einfallswinkel von 45 Grad so auf α₂ ≈ 28,13 Grad gebrochen, beim Übergang in Wasser (n₂ = 1,333) bei 30 Grad Einfallswinkel auf α₂ ≈ 22,03 Grad.

Wenn du im Brechungs-Rechner Einfallswinkel, n₁ und n₂ einträgst, übernimmt das Werkzeug die Umstellung nach arcsin automatisch als Ergebnis.

Nur die Reihenfolge ist wichtig: n₁ steht für das Ausgangsmedium, n₂ für das Zielmedium, nicht umgekehrt, sonst liefert die Formel den falschen Winkel.

Auch der Grenzwinkel und die Lichtgeschwindigkeit im zweiten Medium erscheinen dabei automatisch mit im Ergebnis.

Das snelliussche Brechungsgesetz lautet n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂ und beschreibt, wie ein Lichtstrahl beim Übergang zwischen zwei Medien mit unterschiedlicher Brechzahl seine Richtung ändert.

Benannt ist es nach dem niederländischen Mathematiker Willebrord Snellius, der die Gesetzmäßigkeit im 17.

Jahrhundert formulierte. n₁ und n₂ sind die Brechungsindizes, α₁ der Einfallswinkel und α₂ der Brechungswinkel, beide gemessen zum Lot auf die Grenzfläche, nicht zur Oberfläche.

Wenn Licht in ein optisch dichteres Medium übergeht, etwa von Luft (n = 1,0) in Wasser (n = 1,333), wird der Strahl zum Lot hin gebrochen und der Winkel kleiner; im umgekehrten Fall wird er vom Lot weg gebrochen.

Aus diesem einen Gesetz leiten sich sowohl der Brechungswinkel als auch der Grenzwinkel der Totalreflexion ab.

Es gilt nur für ebene, homogene Grenzflächen ohne Absorption – bei Linsen oder Mehrschichtsystemen braucht es zusätzliche Rechenschritte, die der Brechungs-Rechner bewusst nicht abbildet.

Das Brechungsgesetz lässt sich aus dem fermatschen Prinzip herleiten, wonach Licht zwischen zwei Punkten immer den Weg der kürzesten Laufzeit nimmt, nicht den kürzesten geometrischen Weg.

Wenn die Laufzeit für einen Strahl über eine ebene Grenzfläche als Funktion des Auftreffpunkts formuliert und ihr Minimum gesucht wird, ergibt die Ableitung nach dem Ort genau die Bedingung n₁ · sin α₁ = n₂ · sin α₂.

Der Grund liegt in der unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit c/n in beiden Medien: Ein Strahl spart Zeit, wenn er im langsameren, optisch dichteren Medium einen kürzeren Weg zurücklegt.

Alternativ lässt sich dieselbe Formel über das huygenssche Prinzip mit Elementarwellen an der Grenzfläche herleiten, wie es Lehrbücher wie OpenStax University Physics ausführlich zeigen.

Für die praktische Anwendung im Brechungs-Rechner ist die Herleitung nicht nötig – als Beispiel genügt, dass das Ergebnis, das Verhältnis der Sinus-Werte zum umgekehrten Verhältnis der Brechungsindizes, für jede ebene Grenzfläche exakt gilt.

Brechzahl und Brechungsindex bezeichnen dieselbe physikalische Größe – es sind zwei gleichwertige deutsche Fachbegriffe für dasselbe Formelzeichen n, das angibt, um welchen Faktor sich Licht in einem Medium langsamer ausbreitet als im Vakuum.

In älteren Lehrbüchern wird eher „Brechzahl” verwendet, in Hochschultexten und internationaler Literatur meist „Brechungsindex” oder englisch „refractive index”.

Beide Begriffe führen zur gleichen Formel n = c / v und zum gleichen Ergebnis, etwa n ≈ 1,333 für Wasser oder n ≈ 1,5 für Fensterglas.

Ein Wert n größer als 1 bedeutet immer, dass Licht im Medium langsamer unterwegs ist als im Vakuum, niemals schneller.

Für den Brechungs-Rechner spielt die Bezeichnung keine Rolle: Du trägst denselben Zahlenwert als Eingabe ein, wenn eine Quelle ihn als Brechzahl oder als Brechungsindex bezeichnet.

Nur bei einer „relativen Brechzahl” zwischen zwei konkreten Medien statt dem Absolutwert gegenüber Vakuum ist zusätzliche Vorsicht beim Einsetzen nötig.

Wenn Licht in ein optisch dichteres Medium übergeht, wird es zum Lot hin gebrochen; wenn es in ein optisch dünneres Medium übergeht, wird es vom Lot weg gebrochen.

Ist n₂ größer als n₁, etwa beim Übergang von Luft (n = 1,0) in Wasser (n = 1,333), wird der Brechungswinkel kleiner als der Einfallswinkel: Bei 30 Grad Einfallswinkel entstehen so nur rund 22,03 Grad Brechungswinkel.

Ist n₂ dagegen kleiner als n₁, etwa beim Wechsel von Wasser zurück in Luft, wird der Strahl vom Lot weg gebrochen und der Winkel größer, bis oberhalb des Grenzwinkels Totalreflexion eintritt.

Bei senkrechtem Einfall mit α₁ = 0 Grad bleibt die Richtung immer unverändert, weil sin 0° = 0 ist, auch wenn sich die Lichtgeschwindigkeit im Medium ändert.

Trage im Brechungs-Rechner als Eingabe einfach n₁ und n₂ in der tatsächlichen Reihenfolge des Strahlengangs ein, dann liefert das Ergebnis automatisch die richtige Richtung.

Den Grenzwinkel der Totalreflexion berechnest du mit αc = arcsin(n₂ / n₁), und zwar nur dann, wenn n₁ größer ist als n₂, also beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium.

Für Wasser nach Luft ergibt sich αc = arcsin(1,0 / 1,333) ≈ 48,6 Grad, für Fensterglas nach Luft mit n₁ = 1,5 rund 41,8 Grad, für Diamant nach Luft mit n₁ = 2,42 nur noch etwa 24,4 Grad.

Oberhalb dieses Winkels wird der einfallende Strahl als Ergebnis vollständig reflektiert statt gebrochen, was der Brechungs-Rechner direkt als „Totalreflexion” meldet, sobald der rechnerische Sinus-Wert des Brechungswinkels über 1 steigt.

Unterhalb des Grenzwinkels findet weiterhin normale Brechung statt, allerdings mit einem teilweise reflektierten Lichtanteil, den dieses Modell nicht separat ausweist.

Prüfe im Rechner einfach, ob dein Einfallswinkel unter oder über dem angezeigten Grenzwinkel liegt – genau diese Schwelle entscheidet in Glasfaserkabeln und Prismen, ob Licht im Material bleibt oder austritt.

Als gängige Brechungsindex-Werte gelten: Luft praktisch 1,00 (genauer 1,0003), Wasser rund 1,333, typisches Kron- und Fensterglas etwa 1,5 und Diamant etwa 2,42, jeweils bezogen auf die gelbe Natrium-D-Linie bei 589 Nanometern und Zimmertemperatur.

Je höher dieser Wert, desto stärker wird ein Lichtstrahl beim Eintritt aus Luft zum Lot hin gebrochen und desto langsamer breitet sich das Licht im Medium aus: In Wasser sinkt die Lichtgeschwindigkeit auf rund 224.901 Kilometer pro Sekunde, in Diamant sogar auf nur noch etwa 123.881 Kilometer pro Sekunde, verglichen mit 299.792 Kilometern pro Sekunde im Vakuum.

Diese Richtwerte reichen als Eingabe für Schul- und Laboraufgaben zu den Übergängen Luft–Wasser, Luft–Glas oder Wasser–Luft völlig aus.

Für Präzisionsoptik oder Sondermaterialien wie Acrylglas (rund 1,49), Quarzglas (rund 1,458) oder Saphir (rund 1,77) solltest du dagegen materialgenaue, wellenlängenabhängige Werte aus Datenblättern nutzen, wenn die zweite oder dritte Nachkommastelle wichtig ist.

Der Brechungs-Rechner hinterlegt Luft und Wasser bereits als Voreinstellung.

Die optische Dichte eines Mediums beschreibt, wie groß dessen Brechungsindex im Vergleich zu einem anderen Medium ist – sie hat nichts mit der Massendichte oder dem Gewicht eines Stoffes zu tun.

Ein Medium gilt als optisch dichter, wenn sein Brechungsindex n höher liegt und Licht sich darin folglich langsamer ausbreitet, etwa Wasser (n = 1,333) gegenüber Luft (n ≈ 1,0) oder Glas (n ≈ 1,5) gegenüber Wasser.

Genau dieser relative Vergleich entscheidet im Brechungsgesetz als Ergebnis, ob ein Strahl beim Übergang zum Lot hin gebrochen wird oder ob überhaupt ein Grenzwinkel der Totalreflexion existiert, denn diesen gibt es nur beim Wechsel vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium.

Diamant mit n ≈ 2,42 zählt zu den optisch dichtesten gebräuchlichen Materialien und hat deshalb mit rund 24,4 Grad auch den kleinsten gängigen Grenzwinkel.

Trage im Brechungs-Rechner als Eingabe einfach die beiden n-Werte ein, wenn du prüfen willst, welches Medium optisch dichter ist.

Bei Brillengläsern bestimmt der Brechungsindex, wie dick ein Glas bei gleicher Sehstärke ausfällt: Je höher der Brechungsindex des Materials, desto stärker wird Licht schon bei geringerer Wölbung gebrochen, sodass dünnere und leichtere Gläser als Ergebnis möglich werden.

Standardgläser aus Kunststoff liegen bei rund n = 1,5, hochbrechende Gläser für starke Fehlsichtigkeiten bei n = 1,6, n = 1,67 oder bis zu n = 1,74.

Nach demselben Snellius-Zusammenhang, den der Brechungs-Rechner als Eingabe auswertet, gilt: Ein höheres n lenkt einen Lichtstrahl bei gleichem Einfallswinkel stärker ab als ein niedrigeres, weshalb hochbrechende Gläser bei gleicher Dioptrienzahl flacher geschliffen werden können.

Der Nachteil eines hohen Brechungsindex ist eine etwas stärkere Farbaufspaltung und meist ein höherer Reflexionsanteil, weshalb hochbrechende Brillengläser fast immer zusätzlich entspiegelt werden.

Für die reine Winkelrechnung im Brechungs-Rechner genügt nur der Brechungsindex des jeweiligen Glases als n-Wert, unabhängig davon, ob es sich um Standard- oder hochbrechendes Material handelt.

Wenn Licht durch ein Prisma fällt, wird es beim Eintritt und beim Austritt jeweils an einer eigenen Grenzfläche nach demselben snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen, das auch der Brechungs-Rechner für eine einzelne Fläche als Ergebnis auswertet.

Weil der Brechungsindex von Glas geringfügig von der Wellenlänge abhängt, wird blaues Licht dabei etwas stärker gebrochen als rotes, wodurch weißes Licht beim Austritt in ein farbiges Spektrum aufgefächert wird, wie es Prismen und Regenbogen zeigen.

Für eine einzelne der beiden Grenzflächen kannst du im Brechungs-Rechner als Eingabe Einfallswinkel sowie n₁ und n₂ des Prismenmaterials eintragen, etwa den Eintritt von Luft (n = 1,0) in Kronglas (n ≈ 1,52), um den jeweiligen Teilbrechungswinkel exakt nachzurechnen.

Die vollständige Gesamtablenkung durch beide Flächen und den Prismenwinkel zusammen bildet dieses Modell aber nicht ab, weil dafür zusätzlich die Geometrie des Prismas nötig wäre – nur die Einzelbrechung an einer Fläche.