Ideales Gasgesetz Rechner und ideale Gasgleichung: V, p, n, T

Es lautet p · V = n · R · T: Druck mal Volumen ist gleich Stoffmenge mal molare Gaskonstante mal absolute Temperatur.

Dabei steht p für den Absolutdruck in Pascal, V für das Volumen in Kubikmetern, n für die Stoffmenge in Mol und T für die Temperatur in Kelvin; R beträgt 8,314 J/(mol·K).

Die Gleichung gilt für ein ideales Gas, also eines ohne Anziehung zwischen den Teilchen und ohne Eigenvolumen. Mit drei bekannten Größen berechnest du die vierte, zum Beispiel das Volumen als V = n · R · T ÷ p.

Ein Beispiel: 1 mol bei 20 °C und 1013,25 hPa ergibt V = 24,06 l. Im Rechner wählst du oben die gesuchte Größe, trägst die drei anderen mit ihren Einheiten ein und liest Ergebnis und Rechenweg ab.

Die Gleichung fasst die Gesetze von Boyle-Mariotte, Gay-Lussac und Amontons zusammen und ist nur eine Näherung für reale Gase, solange Druck und Temperatur im moderaten Bereich liegen.

Die molare Gaskonstante beträgt R = 8,314 462 618 J/(mol·K), und dieser Wert ist seit der SI-Revision 2019 exakt, weil Avogadro-Konstante und Boltzmann-Konstante festgelegt wurden (CODATA 2022).

Gerundet nutzt man 8,314 J/(mol·K), was dasselbe ist wie 8,314 Pa·m³/(mol·K). Rechnest du mit Litern und bar, lautet der Wert 0,08314 l·bar/(mol·K); mit atm und l sind es 0,08206 l·atm/(mol·K).

Der Zahlenwert hängt also nur von den gewählten Einheiten ab, nicht vom Gas. Wichtig ist, dass du die Einheiten nicht mischst: R = 8,314 gehört zu Pa und m³, mit Litern statt Kubikmetern wäre das Ergebnis um den Faktor 1.000 falsch.

Der Rechner nimmt dir das ab: Du wählst die Einheiten für Druck, Volumen und Temperatur frei, er rechnet intern in Pa, m³, mol und K und zeigt im Rechenweg jede Umrechnung. Ein eigener Wert für R ist nicht nötig und nicht vorgesehen.

Mit ρ = p · M ÷ (R · T): Die Dichte ist Druck mal molare Masse geteilt durch R mal absolute Temperatur. Die Formel folgt aus p · V = n · R · T, wenn du n durch m ÷ M ersetzt und nach m ÷ V auflöst.

Setzt du M in kg/mol und p in Pa ein, erhältst du kg/m³.

Ein Beispiel: Für Kohlenstoffdioxid (M = 44,01 g/mol) bei 20 °C und 1013,25 hPa ergibt sich ρ = 101.325 · 0,04401 ÷ (8,314 · 293,15) = 1,83 kg/m³; trockene Luft (28,96 g/mol) kommt unter denselben Bedingungen auf 1,204 kg/m³.

Im Rechner wählst du „Dichte und Molvolumen“, trägst Druck und Temperatur ein und wählst das Gas oder eine eigene molare Masse. Du erhältst Dichte und Molvolumen.

Die Dichte hängt bei gleichem Druck und gleicher Temperatur nur von der molaren Masse ab; das Volumen spielt keine Rolle. Für feuchte Luft gilt die Formel nicht ohne Weiteres.

Das hängt von Druck und Temperatur ab: Das Molvolumen V_m = R · T ÷ p beträgt für ein ideales Gas bei 0 °C und 1013,25 hPa 22,41 l/mol, bei 20 °C 24,06 l/mol und bei 25 °C 24,47 l/mol. Bei 25 °C und genau 1 bar sind es 24,79 l/mol.

Der Wert 22,414 l/mol ist als Normmolvolumen bekannt und stammt aus den CODATA-Werten des NIST für 273,15 K und 101,325 kPa.

Die Zahl gilt unabhängig von der Gasart, solange sich das Gas ideal verhält; ob es Sauerstoff, Stickstoff oder Helium ist, ändert nur die Masse dieses Mols, nicht sein Volumen.

Im Rechner wählst du „Volumen V“, setzt n = 1 mol und gibst Druck und Temperatur ein oder nutzt „Dichte und Molvolumen“, wo das Molvolumen immer mit angezeigt wird. Die Tabelle am Seitenende zeigt es für vier Temperaturen bei Normaldruck.

Bei hohem Druck weichen reale Gase davon ab.

Weil die Gleichung die Temperatur multipliziert und der Nullpunkt der Kelvin-Skala der absolute Nullpunkt ist: Bei 0 K hätte ein ideales Gas kein Volumen mehr, bei 0 °C (273,15 K) aber noch 22,41 l/mol.

Ein Wert in Grad Celsius führt zu falschen Ergebnissen, weil 20 °C nicht doppelt so warm sind wie 10 °C: 293,15 K sind nicht das Doppelte von 283,15 K. Die Umrechnung ist T in K = Temperatur in °C + 273,15.

Im Rechner stellst du die Einheit ein und gibst den Wert in °C oder K ein; er rechnet selbst um und zeigt im Rechenweg, zum Beispiel 25 °C + 273,15 = 298,15 K.

Wer in der Formel 20 statt 293,15 einsetzt, erhält ein um den Faktor 14,7 zu kleines Volumen. Temperaturen unter dem absoluten Nullpunkt (−273,15 °C) gibt es nicht; der Rechner lehnt sie mit einer Erklärung ab, statt zu rechnen.

Du brauchst den Absolutdruck, denn die Gleichung beschreibt den tatsächlichen Druck des Gases gegenüber dem Vakuum. Ein Manometer zeigt meist den Überdruck, also den Unterschied zum Umgebungsdruck.

Der Absolutdruck ist Überdruck plus Umgebungsdruck: Ein Reifen mit 2,2 bar Überdruck hat bei 1 bar Umgebungsdruck 3,2 bar absolut.

Ein Beispiel für die Wirkung: 30 l bei 3,2 bar absolut und 20 °C enthalten 3,939 mol Luft; wer nur 2,2 bar einsetzt, kommt auf 2,708 mol und unterschätzt die Menge um knapp ein Drittel.

Als Umgebungsdruck nimmst du in der Regel etwa 1 bar oder 1013,25 hPa; Wetter und Höhe ändern ihn, sodass der Wert nur eine Näherung ist. Im Rechner trägst du den Absolutdruck im Feld Druck ein und wählst die Einheit.

Ob dein Messgerät Überdruck oder Absolutdruck zeigt, steht auf dem Gerät oder in seinem Datenblatt; ohne diese Angabe lässt sich der Wert nicht richtig verwenden.

Es gilt nur näherungsweise, und die Näherung wird schlechter bei hohem Druck, tiefer Temperatur und in der Nähe der Kondensation. Dann spielen die Anziehung zwischen den Teilchen und ihr Eigenvolumen eine Rolle, die das ideale Gas vernachlässigt.

Als Maßstab dient der kritische Punkt des Gases: Je weiter Druck und Temperatur davon entfernt sind, desto idealer verhält es sich.

Bei Raumtemperatur und Normaldruck ist die Näherung für Luft, Stickstoff oder Sauerstoff im Alltag brauchbar, bei Kohlenstoffdioxid unter hohem Druck dagegen nicht.

Ein Beispiel: Für 10 l bei 200 bar und 20 °C liefert die Gleichung 82,06 mol; ein reales Gas weicht bei diesem Druck merklich davon ab. Bessere Ergebnisse liefert die van-der-Waals-Gleichung, die der Rechner nicht enthält.

Der Rechner weist unter jedem Ergebnis auf die Grenze hin. Für Druckbehälter, Sicherheits- und Auslegungsfragen genügt er nicht; dafür gelten technische Berechnungen nach den jeweils geltenden Vorschriften.

Sie sind Spezialfälle der idealen Gasgleichung bei gleicher Stoffmenge: Aus p · V ÷ T = n · R = konstant folgt p₁·V₁ ÷ T₁ = p₂·V₂ ÷ T₂.

Bleibt die Temperatur gleich, gilt Boyle-Mariotte (p · V konstant): Wird das Volumen von 10 l auf 5 l halbiert, verdoppelt sich der Druck von 1 auf 2 bar.

Bleibt der Druck gleich, gilt Gay-Lussac (V ÷ T konstant): 10 l bei 0 °C werden bei 100 °C zu 13,66 l. Bleibt das Volumen gleich, gilt Amontons (p ÷ T konstant): 3 bar bei 20 °C werden bei 100 °C zu 3,819 bar.

Im Rechner wählst du „Zustandsänderung“, gibst Zustand 1 vollständig an und füllst in Zustand 2 zwei der drei Felder; das leere ist die gesuchte Größe. Der Rechner benennt den passenden Spezialfall.

Ändern sich alle drei Größen, gilt die allgemeine Form, und die Einzelgesetze reichen nicht mehr aus. Die Stoffmenge muss gleich bleiben, das Gas also nicht entweichen.