Linsen-Rechner: Brennweite, Bildweite und Linsengleichung

Mit der Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b berechnest du den Zusammenhang zwischen Brennweite f, Gegenstandsweite g und Bildweite b einer dünnen Sammellinse. Du stellst die Gleichung nach der gesuchten Größe um und setzt die beiden bekannten Werte ein.

Suchst du die Bildweite, gilt b = 1 / (1/f − 1/g). Beispiel: Bei f = 0,05 m und g = 0,5 m ergibt sich b = 1 / (1/0,05 − 1/0,5) = 1 / (20 − 2) ≈ 0,0556 m. Alle drei Größen müssen in derselben Einheit vorliegen.

Der Rechner übernimmt die Umstellung und liefert zusätzlich Abbildungsmaßstab und Brechkraft in Dioptrien. Ein negativer Wert für b zeigt an, dass das Bild virtuell und auf der Eingangsseite der Linse liegt.

Der zugehörige Abbildungsmaßstab berechnet sich als β = b / g = 0,0556 / 0,5 ≈ 0,11, das Bild ist also etwa neunmal kleiner als der Gegenstand. Die Brechkraft dieser Linse beträgt D = 1 / 0,05 = 20 Dioptrien.

Die zentrale Formel zur Berechnung einer dünnen Linse ist die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b. Dabei ist f die Brennweite, g die Gegenstandsweite und b die Bildweite, jeweils gemessen vom Linsenmittelpunkt.

Ergänzend gilt für den Abbildungsmaßstab β = b / g und für die Brechkraft D = 1/f in Dioptrien, wenn f in Metern eingesetzt wird. Mit diesen drei Beziehungen lassen sich alle Standardaufgaben zur Sammellinse lösen.

Wichtig ist eine einheitliche Vorzeichenkonvention: Bei einer Sammellinse ist f positiv, eine negative Bildweite kennzeichnet ein virtuelles Bild.

Für reale, mehrlinsige Objektive ist diese Formel nur eine idealisierte Näherung, weil Linsendicke und mehrere Hauptebenen die tatsächliche Bildlage verschieben.

Für Schul- und Laboraufgaben mit einer einzelnen Sammellinse liefert sie dagegen exakte Ergebnisse. Konkret: Bei f = 0,1 m und g = 0,3 m ergibt sich b = 1 / (1/0,1 − 1/0,3) = 0,15 m und β = 0,15 / 0,3 = 0,5 bei einer Brechkraft von 10 Dioptrien.

Die Brennweite einer Linse berechnest du aus der Linsengleichung, indem du sie nach f umstellst: f = 1 / (1/g + 1/b).

Du brauchst dafür eine bekannte Gegenstandsweite g und die zugehörige Bildweite b, etwa aus einem Versuch, bei dem ein scharfes Bild auf einem Schirm aufgefangen wird.

Beispiel: Liegt der Gegenstand bei g = 0,5 m und das scharfe Bild bei b = 0,0556 m, ergibt sich f = 1 / (1/0,5 + 1/0,0556) = 1 / (2 + 18) = 0,05 m, also 50 Millimeter. Über die Brechkraft D = 1/f entspricht das 20 Dioptrien.

Achte darauf, alle Längen in derselben Einheit einzusetzen. Gibst du g und b in Millimetern ein, liefert die Formel f ebenfalls in Millimetern. Alternativ gilt: Ist die Brechkraft D in Dioptrien bekannt, folgt f = 1 / D in Metern.

Eine Brillenglasstärke von 4 Dioptrien entspricht damit einer Brennweite von 0,25 m.

Um die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b nach der Bildweite b umzustellen, isolierst du zuerst 1/b: 1/b = 1/f − 1/g. Anschließend bildest du den Kehrwert und erhältst b = 1 / (1/f − 1/g).

Beispiel: Bei f = 0,05 m und g = 0,5 m ergibt sich 1/b = 20 − 2 = 18, also b = 1/18 ≈ 0,0556 m. Steht der Gegenstand innerhalb der Brennweite, wird 1/f − 1/g negativ und die Bildweite damit negativ, was ein virtuelles Bild kennzeichnet.

Genau dann lässt sich kein reelles Schirmbild auffangen, sondern es entsteht der Vergrößerungseffekt einer Lupe.

Achte deshalb immer auf das Vorzeichen der Bildweite, denn es entscheidet darüber, ob ein projizierbares reelles oder ein nur durch die Linse sichtbares virtuelles Bild vorliegt.

Konkret: Bei f = 20 mm und g = 15 mm ergibt die Umformung b = 1 / (1/0,02 − 1/0,015) = −0,06 m. Das negative Vorzeichen bestätigt ein virtuelles Bild, der Abbildungsmaßstab beträgt β = 4.

Der Abbildungsmaßstab beschreibt das Größenverhältnis zwischen Bild und Gegenstand und berechnet sich aus β = B / G = b / g, also Bildgröße geteilt durch Gegenstandsgröße beziehungsweise Bildweite geteilt durch Gegenstandsweite.

Ein Betrag über 1 bedeutet Vergrößerung, ein Betrag unter 1 Verkleinerung. Beispiel: Bei g = 0,5 m und b = 0,0556 m ist β ≈ 0,11, das Bild ist also rund neunmal kleiner als der Gegenstand.

Bei einem Makroaufbau mit g = 0,06 m und b = 0,30 m wäre β = 5, das Bild also fünfmal größer. Das Vorzeichen zeigt zusätzlich an, ob das Bild aufrecht oder umgekehrt erscheint.

Ein negativer Abbildungsmaßstab bedeutet, dass das Bild umgekehrt steht — bei reellen Bildern einer Sammellinse mit g größer f ist das stets der Fall.

Der Rechner gibt β automatisch aus und zeigt dabei an, ob Vergrößerung oder Verkleinerung vorliegt und ob das Bild aufrecht oder invertiert abgebildet wird.

Dioptrien und Brennweite hängen über den Kehrwert zusammen: Die Brechkraft D in Dioptrien ergibt sich aus D = 1 / f, wobei die Brennweite f in Metern einzusetzen ist.

Eine Linse mit 0,5 m Brennweite hat daher 2 Dioptrien, bei 0,1 m sind es 10 Dioptrien und bei 0,05 m schon 20 Dioptrien. Je kürzer die Brennweite, desto stärker bricht die Linse das Licht und desto höher die Dioptrienzahl.

Sammellinsen haben positive, Zerstreuungslinsen negative Dioptrienwerte. Achte unbedingt auf die Einheit Meter: Wer versehentlich Millimeter einsetzt, erhält um den Faktor 1000 verfälschte Werte. Der Rechner gibt die Brechkraft automatisch mit aus.

Bei Brillengläsern gibt die Dioptrienzahl direkt die Korrekturbrechkraft an: −3 Dioptrien entsprechen einer Zerstreuungslinse mit f = −0,333 m. Kombiniert man zwei dünne Linsen direkt hintereinander, addieren sich ihre Brechkräfte: D₁ + D₂ = D_ges.

Zwei Linsen à 15 Dioptrien ergeben so 30 Dioptrien mit f = 0,033 m.

Ob ein reelles oder virtuelles Bild entsteht, hängt bei der Sammellinse vom Verhältnis von Gegenstandsweite g zur Brennweite f ab.

Steht der Gegenstand außerhalb der Brennweite (g größer f), ergibt sich eine positive Bildweite und damit ein reelles Bild, das sich auf einem Schirm oder Sensor auffangen lässt und umgekehrt steht.

Steht der Gegenstand innerhalb der Brennweite (g kleiner f), wird die Bildweite negativ und es entsteht ein virtuelles, aufrechtes und vergrößertes Bild wie bei einer Lupe.

Im Grenzfall g = f laufen die Strahlen parallel und es entsteht kein scharfes Bild. Der Rechner zeigt den Bildtyp direkt über das Vorzeichen der Bildweite an.

Konkret: Bei f = 50 mm und g = 200 mm liefert die Linsengleichung b ≈ 66,7 mm, ein reelles, verkleinertes Bild mit β ≈ 0,33. Bei f = 50 mm und g = 30 mm dagegen ergibt sich b = −75 mm, also ein virtuelles Bild mit β = 2,5 — typischer Lupenbetrieb.

In der Schulphysik bezeichnet die Brennweite die Eigenschaft einer einzelnen dünnen Sammellinse und steht direkt in der Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b, mit der sich Bildlage und Abbildungsmaßstab berechnen lassen.

In der Fotografie meint Brennweite dagegen meist die feste Konstruktionsbrennweite eines kompletten Objektivs aus mehreren Linsengruppen, die zusammen mit der Sensorgröße den Bildwinkel bestimmt, etwa 24 mm Weitwinkel oder 200 mm Tele.

Für reale Kameraobjektive ist die einfache dünne-Linsen-Formel nur eine grobe Näherung, weil Hauptpunktlagen, Linsendicke und Aberrationen die effektive Bildlage verschieben.

Dieser Rechner ist auf den optischen Schulphysik-Fall der einzelnen Sammellinse ausgelegt, nicht auf die Objektivkonstruktion.

Wer den Bildwinkel oder die Schärfentiefe eines fotografischen Objektivs ermitteln möchte, sollte daher spezialisierte Foto-Rechner verwenden, während dieser Rechner die grundlegende Abbildungsgeometrie liefert.

Wer hingegen die Bildlage für eine einzelne Schul- oder Laborlinse bestimmen möchte, gibt hier Brennweite f und Gegenstandsweite g ein und erhält Bildweite b, Abbildungsmaßstab β sowie die Brechkraft in Dioptrien direkt.