Linsen-Rechner: Brennweite, Bildweite und Linsengleichung

Die Linsengleichung lautet 1/f = 1/g + 1/b und verknüpft Brennweite f, Gegenstandsweite g und Bildweite b einer dünnen Sammellinse.

Nach b umgestellt ergibt sich b = 1 / (1/f − 1/g): Du setzt die bekannte Brennweite und Gegenstandsweite ein und bildest den Kehrwert der Differenz.

Beispiel: Bei f = 0,05 m und g = 0,5 m folgt b = 1 / (20 − 2) ≈ 0,0556 m, also gut 5,6 Zentimeter hinter der Linse. Alle drei Längen müssen dabei in derselben Einheit stehen, sonst verschiebt sich das Ergebnis um ganze Zehnerpotenzen.

Der Rechner übernimmt die Umstellung automatisch und liefert zusätzlich Abbildungsmaßstab und Brechkraft in Dioptrien mit.

Die Formel gilt streng nur für eine idealisierte dünne Linse ohne eigene Dicke; bei dicken Linsen oder mehrlinsigen Objektiven weicht die reale Bildlage geringfügig ab, wie die Linsenmacherformel weiter unten zeigt.

Die Brennweite ermittelst du aus der umgestellten Linsengleichung f = 1 / (1/g + 1/b), sobald Gegenstandsweite g und die zugehörige Bildweite b bekannt sind, etwa aus einem Versuch mit scharfem Schirmbild.

Beispiel: Liegt der Gegenstand bei g = 0,5 m und das scharfe Bild bei b = 0,0556 m, ergibt sich f = 1 / (2 + 18) = 0,05 m, also 50 Millimeter, entsprechend 20 Dioptrien Brechkraft.

Achte darauf, g und b in derselben Längeneinheit einzusetzen; gibst du beide in Millimetern ein, liefert die Formel f ebenfalls in Millimetern.

Miss die Gegenstandsweite immer vom Linsenmittelpunkt aus, nicht vom Rand der Fassung, sonst verschiebt sich das Ergebnis um mehrere Prozent.

Für eine einzelne dünne Sammellinse reicht diese Rechnung aus; bei einem realen, mehrlinsigen Objektiv weicht die effektive Brennweite wegen der Hauptebenen zusätzlich etwas ab.

Die Gegenstandsweite g folgt aus der nach g umgestellten Linsengleichung g = 1 / (1/f − 1/b), wenn Brennweite f und Bildweite b bereits feststehen.

Beispiel: Bei f = 0,1 m und einer gemessenen Bildweite von b = −0,15 m ergibt sich g = 1 / (10 − (−6,667)) = 1 / 16,667 ≈ 0,06 m, also 6 Zentimeter — das entspricht dem klassischen Lupenaufbau mit virtuellem Bild.

Ein negatives b darfst du dabei nicht weglassen, sondern musst es mit Vorzeichen in die Formel einsetzen, sonst kippt das Ergebnis.

Nutze diese Umstellung zum Beispiel, wenn du aus einer Objektiv- oder Lupenspezifikation den passenden Arbeitsabstand für einen Aufbau ermitteln willst.

Wie bei den anderen beiden Größen gilt auch hier nur die Näherung der dünnen Linse, reale Optiken mit mehreren Linsengruppen weichen etwas ab.

Um die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b nach b umzustellen, isolierst du zuerst 1/b = 1/f − 1/g und bildest anschließend den Kehrwert: b = 1 / (1/f − 1/g).

Beispiel: Bei f = 0,05 m und g = 0,5 m ergibt sich 1/b = 20 − 2 = 18, also b ≈ 0,0556 m, ein positives, reelles Bild.

Steht der Gegenstand dagegen innerhalb der Brennweite, etwa bei f = 0,1 m und g = 0,06 m, wird die Differenz negativ und b = −0,15 m: Das Minuszeichen zeigt ein virtuelles Bild an, das sich nicht auf einem Schirm auffangen lässt.

Achte deshalb immer zuerst auf das Vorzeichen von 1/f − 1/g, bevor du den Kehrwert bildest, denn genau dieses Vorzeichen entscheidet über reell oder virtuell.

Der Rechner übernimmt diese Fallunterscheidung automatisch und benennt den Bildtyp im Klartext.

Der Abbildungsmaßstab beschreibt die Vergrößerung einer Linse als Verhältnis von Bild- zu Gegenstandsgröße und berechnet sich aus m = −b / g, also der Bildweite geteilt durch die Gegenstandsweite mit umgekehrtem Vorzeichen.

Beispiel: Bei f = 0,02 m und g = 0,025 m ergibt sich b = 0,1 m und damit m = −0,1 / 0,025 = −4, das Bild ist also viermal größer und steht auf dem Kopf – typisch für ein Mikroskop-Objektiv nahe der Brennweite.

Ein Betrag über 1 bedeutet Vergrößerung, ein Betrag unter 1 Verkleinerung, das Vorzeichen zeigt zusätzlich aufrecht oder umgekehrt an.

Nutze diesen Wert, um vorab abzuschätzen, wie groß ein Bild auf Sensor oder Schirm ausfällt, bevor du einen Aufbau tatsächlich justierst.

Nur bei virtuellen Bildern, deren Bildweite negativ ist, wird der Maßstab positiv und das Bild erscheint aufrecht statt umgekehrt.

Dioptrien und Brennweite hängen über den Kehrwert zusammen: Die Brechkraft D in Dioptrien ergibt sich aus D = 1 / f, wobei f in Metern einzusetzen ist.

Bei f = 1 m ergibt das exakt 1 Dioptrie, bei f = 0,5 m bereits 2 Dioptrien, und bei einer kurzen 50-Millimeter-Linse (f = 0,05 m) sind es schon 20 Dioptrien.

Je kürzer die Brennweite, desto stärker bricht die Linse das Licht und desto höher die Dioptrienzahl; Sammellinsen liefern positive, Zerstreuungslinsen negative Werte.

Achte unbedingt auf die Einheit Meter, denn wer versehentlich Millimeter einsetzt, erhält ein um den Faktor 1000 verfälschtes Ergebnis.

Kombinierst du zwei dünne Linsen direkt hintereinander in Kontakt, addieren sich ihre Brechkräfte näherungsweise zu D_ges = D₁ + D₂ — dieser Rechner berechnet aber stets nur eine einzelne Linse je Aufruf.

Ob ein reelles oder virtuelles Bild entsteht, hängt vom Verhältnis der Gegenstandsweite g zur Brennweite f ab.

Steht der Gegenstand außerhalb der Brennweite (g größer f), liefert die Linsengleichung eine positive Bildweite und damit ein reelles, umgekehrtes Bild, das sich auf Schirm oder Sensor auffangen lässt.

Steht er dagegen innerhalb der Brennweite (g kleiner f), wird die Bildweite negativ, und es entsteht ein virtuelles, aufrechtes und vergrößertes Bild wie bei einer Lupe.

Im Grenzfall g gleich f laufen die Strahlen parallel, die Linsengleichung liefert keinen endlichen Wert für b, und es entsteht gar kein Bild – der Rechner meldet diesen Sonderfall ausdrücklich als Parallelbild ohne Bild statt eines Zahlenwerts.

Konkret: Bei f = 50 mm und g = 200 mm ergibt sich b ≈ 66,7 mm, ein reelles Bild; bei f = 50 mm und g = 30 mm dagegen b = −75 mm, also virtuell.

Prüfe bei Werten nahe g = f deshalb immer das Vorzeichen der Bildweite, bevor du das Ergebnis für einen realen Aufbau nutzt.

Die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b berechnet die Bildlage einer Linse, wenn die Brennweite f bereits als bekannter Wert vorliegt — genau das macht dieser Rechner, etwa mit f = 0,05 m und g = 0,5 m zu b ≈ 0,0556 m.

Die Linsenmacherformel, auch Linsenschleiferformel genannt, geht einen Schritt weiter zurück und ermittelt f selbst aus der Linsengeometrie: 1/f = (n − 1) · (1/R₁ − 1/R₂), mit den Krümmungsradien R₁ und R₂ der beiden Linsenflächen und der Brechzahl n des Glasmaterials.

Diese Rückrechnung von der Geometrie zur Brennweite bildet dieser Rechner bewusst nicht ab, weil dafür zusätzliche geometrische und Materialangaben nötig wären, die ein Standardanwender selten zur Hand hat.

Wer stattdessen eine bekannte Objektiv- oder Brillenglasbrennweite einsetzt, ist bei der Linsengleichung genau richtig; wer eine Linse aus Rohlingsdaten neu auslegt, braucht zusätzlich die Linsenmacherformel.

Das allgemeine Abbildungsgesetz der Optik hat dieselbe Form wie die Linsengleichung, 1/f = 1/g + 1/b, gilt aber nicht nur für Linsen, sondern auch für sphärische Hohl- und Wölbspiegel, allerdings mit einer abweichenden Vorzeichenkonvention für die Brennweite f.

Bei einem Hohlspiegel mit f = 0,05 m und einem Gegenstand bei g = 0,5 m ergäbe sich rechnerisch dieselbe Bildweite b ≈ 0,0556 m wie bei der entsprechenden Sammellinse – die Struktur der Gleichung ist identisch, nur die physikalische Herkunft und die Vorzeichenregel für Hohl- gegenüber Wölbspiegeln unterscheiden sich.

Dieser Rechner deckt ausschließlich den Linsenfall ab und überträgt keine Spiegel-Vorzeichenregeln.

Willst du stattdessen einen Hohlspiegel oder Wölbspiegel auslegen, brauchst du die spiegeloptische Variante mit eigener Konvention, nicht dieses Werkzeug für Linsen.

In der Schulphysik bezeichnet die Brennweite die Eigenschaft einer einzelnen dünnen Sammellinse und steht direkt in der Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b, mit der sich Bildlage und Abbildungsmaßstab berechnen lassen – das ist der Fall, den dieser Rechner abdeckt.

In der Fotografie meint Brennweite dagegen meist die feste Konstruktionsbrennweite eines kompletten Objektivs aus mehreren Linsengruppen, die zusammen mit der Sensorgröße den Bildwinkel bestimmt, etwa 24 Millimeter Weitwinkel oder 200 Millimeter Tele.

Für reale Kameraobjektive ist die einfache dünne-Linsen-Formel nur eine grobe Näherung, weil Hauptpunktlagen, Linsendicke und Aberrationen die effektive Bildlage verschieben.

Wer den Bildwinkel oder die Schärfentiefe eines fotografischen Objektivs ermitteln möchte, sollte deshalb spezialisierte Foto-Rechner nutzen.

Wer dagegen die Bildlage einer einzelnen Schul- oder Laborlinse bestimmen will, gibt hier Brennweite f und Gegenstandsweite g ein und erhält Bildweite, Abbildungsmaßstab und Brechkraft direkt.