Mischungskreuz berechnen: Mengen und Verhältnis

Das Mischungskreuz, auch Alligation alternate oder Andreaskreuz genannt, ist ein grafisches Rechenverfahren zur Bestimmung des Mischungsverhältnisses zweier Lösungen mit unterschiedlicher Konzentration.

Es wird in der Pharmazie, Lebensmittelchemie, Laboranalytik, im Goldschmiedehandwerk und im Chemieunterricht eingesetzt.

Die Methode basiert auf der Massenerhaltung: Die Summe der gelösten Stoffmengen in den beiden Ausgangslösungen muss der Stoffmenge in der Zielmischung entsprechen.

Praktisch bedeutet das: Du stellst die beiden Ausgangskonzentrationen links auf, die Zielkonzentration in die Mitte, und liest die Anteile über Kreuz als Differenzen ab.

Bei einer 80-%-Lösung und einer 20-%-Lösung mit Zielkonzentration 50 % ergibt sich das Verhältnis 30 : 30, vereinfacht 1 : 1, also gleiche Mengen beider Lösungen.

Sobald du eine dritte, abweichende Zielkonzentration einträgst, ändert sich das Verhältnis entsprechend – ein fester Wert existiert nicht.

Du benötigst drei Werte: die Konzentration der ersten Lösung c₁, die der zweiten c₂ und die gewünschte Zielkonzentration cZ, die zwischen c₁ und c₂ liegen muss. Die Formel lautet: Anteil Lösung 1 = |cZ − c₂|, Anteil Lösung 2 = |c₁ − cZ|.

Das Verhältnis dieser beiden Anteile ist das gesuchte Mischungsverhältnis. Für die absoluten Mengen bei einer Gesamtmenge M gilt: m₁ = M · (cZ − c₂) / (c₁ − c₂) und m₂ = M − m₁.

Ein Beispiel: c₁ = 96 %, c₂ = 0 % (reines Wasser), cZ = 70 %, Gesamtmenge 500 mL. Damit ergibt sich m₁ = 500 · 70 / 96 = 364,58 mL der 96-%-Lösung und m₂ = 135,42 mL Wasser, das Verhältnis beträgt 35 : 13.

Trage die drei Prozentwerte und die Gesamtmenge in den Rechner ein, um das Ergebnis ohne manuelle Kreuzrechnung sofort zu erhalten.

Die Formel beruht auf der Massenerhaltung: m₁ · c₁ + m₂ · c₂ = (m₁ + m₂) · cZ.

Umgestellt nach dem Verhältnis der beiden Mengen ergibt sich m₁ / m₂ = (cZ − c₂) / (c₁ − cZ), und für die absoluten Mengen bei bekannter Gesamtmenge M gilt m₁ = M · (cZ − c₂) / (c₁ − c₂).

Am Standardbeispiel c₁ = 80 %, c₂ = 20 %, cZ = 50 %, M = 1.000 g liefert die Formel m₁ = 1.000 · 30 / 60 = 500 g und m₂ = 500 g, also ein Verhältnis von 1 : 1.

Wichtig ist die Reihenfolge der Differenzen im Kreuzschema: Der Anteil für Lösung 1 ergibt sich aus der Differenz auf der Seite von Lösung 2, nicht aus der eigenen Konzentration.

Wer die Formel manuell nachrechnet, sollte die Kontrollrechnung (m₁ · c₁ + m₂ · c₂) / M = cZ am Ende immer prüfen.

Die Verdünnungsformel c₁ · V₁ = c₂ · V₂ ist ein Spezialfall des Mischungskreuzes, bei dem die zweite Lösung die Konzentration 0 hat, also reines Lösungsmittel ist.

Das Mischungskreuz ist allgemeiner: Es funktioniert auch dann, wenn beide Ausgangslösungen eine Konzentration größer null haben.

Ein Apotheker, der 30-%-ige und 5-%-ige Kochsalzlösung zu einer 12-%-igen Lösung mischen will, braucht das Mischungskreuz, denn c₁ · V₁ = c₂ · V₂ reicht dafür nicht aus – das Ergebnis lautet 210 g der 30-%-Lösung und 540 g der 5-%-Lösung.

In der Praxis nutzt man die Verdünnungsformel, wenn reines Wasser oder Lösungsmittel zum Einsatz kommt, und das Mischungskreuz, wenn zwei unterschiedlich konzentrierte Lösungen kombiniert werden.

Für reine Verdünnungen mit Wasser bietet der spezialisierte Verdünnungsrechner zusätzlich fertige Presets für Ethanol, Isopropanol und Wasserstoffperoxid.

Das Mischungsverhältnis aus dem Kreuzschema (zum Beispiel 3 : 7) lässt sich direkt in Prozent-Anteile der Gesamtmenge umrechnen: Anteil Lösung 1 in Prozent = Teil1 / (Teil1 + Teil2) · 100.

Bei einem Verhältnis von 3 : 7 entfallen also 3 / 10 = 30 % der Gesamtmenge auf die erste und 70 % auf die zweite Lösung.

Bei c₁ = 60 %, c₂ = 10 % und cZ = 25 % liefert der Rechner genau dieses Verhältnis: Bei 2.000 g Gesamtmenge werden 600 g (30 %) der 60-%-Lösung und 1.400 g (70 %) der 10-%-Lösung benötigt.

Der Mengen-Prozentanteil aus dem Verhältnis darf nicht mit der Konzentration der Lösungen selbst verwechselt werden – 30 % Mengenanteil bedeutet nicht 30 % Konzentration.

Die Kontrollrechnung (600 · 60 + 1.400 · 10) / 2.000 = 25 % bestätigt das Ergebnis.

Das Mischungskreuz setzt voraus, dass die Zielkonzentration zwischen den Konzentrationen der beiden Ausgangslösungen liegt.

Aus einer 30-%-igen und einer 60-%-igen Lösung lässt sich keine 80-%-Mischung herstellen, weil keine der beiden Ausgangslösungen stark genug ist – der Rechner gibt in diesem Fall für alle Ergebnisfelder 0 zurück.

Weiterhin müssen die Stoffe ideal mischbar sein, das heißt, die Massen oder Volumina addieren sich ohne Verlust.

Bei Gewichtsprozent ist das immer erfüllt, bei Volumenprozent jedoch nicht: Ethanol und Wasser zeigen eine Volumenkontraktion von bis zu 4 %, sodass das reale Endvolumen kleiner ausfällt als die Summe der Einzelvolumina.

Für Laborpräzision empfiehlt sich daher das Abwiegen in Gramm statt das Abmessen in Millilitern. Die Berechnung gilt außerdem nur für homogene Mischungen, nicht für Suspensionen oder Emulsionen.

Grundsätzlich ja, allerdings mit einer Einschränkung. Das Mischungskreuz berechnet ideale Verhältnisse, die für Masseanteile exakt stimmen, weil sich Massen beim Mischen addieren.

Bei Volumenanteilen kann die sogenannte Volumenkontraktion auftreten: Die Moleküle der gemischten Stoffe packen dichter zusammen als in den Einzellösungen, sodass das reale Endvolumen kleiner ist als die rechnerische Summe.

Bei Ethanol-Wasser-Mischungen beträgt die Abweichung bis zu 4 % bei rund 50 Vol.-%, wie sie etwa bei der Herstellung von Wodka aus 96-%-igem Neutralalkohol auf 37,5 Vol.-% relevant wird.

Bei Kochsalzlösungen oder verdünnten Säuren ist der Effekt vernachlässigbar klein. Für empfindliche Anwendungen empfiehlt sich, in Gramm abzuwiegen statt in Millilitern abzumessen und die Dichte der fertigen Lösung nachträglich zu prüfen.

Der Rechner gibt das Mischungsverhältnis bereits in gekürzter Form aus, indem er den größten gemeinsamen Teiler der beiden Kreuzanteile berechnet.

Bei c₁ = 80 %, c₂ = 20 %, cZ = 50 % lauten die Rohwerte 30 : 30, der größte gemeinsame Teiler ist 30, sodass das Ergebnis 1 : 1 lautet.

Bei c₁ = 99,9 % (Feingold) und c₂ = 0 %, cZ = 75 % (18-Karat-Legierung) ergeben sich die Rohwerte 750 : 249, gekürzt auf 250 : 83.

Wenn die Rohwerte Dezimalstellen enthalten, werden sie zunächst mit dem Faktor 1.000 auf ganze Zahlen gebracht und dann gekürzt.

In der Praxis bedeutet ein Verhältnis von 3 : 7 bei einer Gesamtmenge von 2.000 g: 600 g der ersten und 1.400 g der zweiten Lösung – die Gesamtmenge wird proportional zum Verhältnis auf beide Lösungen verteilt.

Typische Anwendungen liegen in der Pharmazie, wo PTA und Apotheker Rezepturen aus zwei verschieden konzentrierten Stammlösungen herstellen, etwa Kochsalzlösung oder Wasserstoffperoxid von 30 % auf 3 % verdünnt (Verhältnis 1 : 9).

In der Lebensmittelchemie wird Speiseessig aus 25-%-iger Essigessenz auf 5 % Säure verdünnt (Verhältnis 1 : 4, Leitsätze für Speiseessig), Fruchtsaftkonzentrat mit Direktsaft gemischt oder Vollmilch mit Magermilch auf einen Ziel-Fettgehalt verschnitten.

Im Goldschmiedehandwerk wird Feingold (999 ‰) mit Legierungsmetallen zu 750-‰- oder 585-‰-Schmuckgold gemischt.

In der Getränkeherstellung wird Neutralalkohol (96 % vol) auf Trinkstärke wie 37,5 % vol für Wodka verdünnt, und bei der Händedesinfektion wird 96-%-iges Ethanol auf die von der WHO empfohlenen 80 % (v/v) gebracht.

In allen Fällen spart das Mischungskreuz Probieren und Nachmessen, weil die Mengen rechnerisch exakt bestimmt werden.