Boyle-Mariotte-Gesetz Rechner: Druck und Volumen berechnen

Die Formel lautet p₁ · V₁ = p₂ · V₂. Sie sagt, dass das Produkt aus absolutem Druck und Volumen einer festen Gasmenge bei konstanter Temperatur gleich bleibt.

Daraus folgt zum Beispiel p₂ = p₁ · V₁ ÷ V₂: Aus 10 Litern bei 1 bar werden bei 2,5 Litern genau 4 bar. Umgekehrt gilt V₂ = p₁ · V₁ ÷ p₂, sodass sich das Volumen bei 4 bar auf 2,5 Liter verkleinert.

Du kannst die Formel auch als umgekehrte Proportionalität lesen: Doppelter Druck heißt halbes Volumen, dreifacher Druck ein Drittel.

Wichtig sind die Bedingungen: Temperatur und Stoffmenge bleiben gleich, das Gas verhält sich ideal, und beide Drücke sind absolut.

Im Rechner wählst du oben die gesuchte Größe und trägst die drei bekannten Werte ein; die Einheiten dürfen beliebig sein, solange sie bei p₁ und p₂ sowie bei V₁ und V₂ übereinstimmen.

Der Rechenweg erscheint mit allen Zwischenwerten direkt unter dem Ergebnis.

Das Gesetz beschreibt, wie oft die Gasteilchen gegen die Wand stoßen, und dieser Druck wird ab dem Vakuum gemessen. Ein Manometer zeigt dagegen den Überdruck, also den Unterschied zum Umgebungsdruck.

Setzt du 0 bar Überdruck in die Formel ein, rechnest du mit einem Gas ohne Druck und erhältst ebenfalls 0 bar als Ergebnis. Richtig sind 1,01325 bar absolut.

Beispiel: Eine Pumpe mit 400 ml Luft bei 0 bar Überdruck, auf 100 ml gedrückt, ergibt 4,053 bar absolut, am Manometer also 3,04 bar Überdruck.

Im Rechner wählst du dafür die Druckart „Überdruck“; er addiert 101.325 Pa zu jedem Wert und rechnet das Ergebnis zurück. Das Lehrbuch OpenStax University Physics definiert den Überdruck genauso: absoluter Druck minus Umgebungsdruck.

Prüfe bei Reifen, Flaschen und Pumpen immer, ob dein Wert vom Manometer stammt oder ein Absolutwert aus einer Tabelle ist.

Rund 1 bar pro 10 Meter. Genauer folgt der Wasserdruck aus Dichte mal Fallbeschleunigung mal Tiefe. Mit g = 9,80665 m/s² sind das in 10 m Süßwasser (1.000 kg/m³) 0,981 bar und in 10 m Meerwasser (1.025 kg/m³) 1,005 bar.

Dazu kommt der Luftdruck an der Oberfläche: In 10 m Süßwasser herrschen damit 1,994 bar absolut, in 10 m Meerwasser 2,018 bar. Ein Luftvolumen halbiert sich deshalb in 10 m Tiefe fast genau, von 6 auf 3,012 Liter im Meerwasser.

Der Druck wächst linear mit der Tiefe, das Volumen dagegen nicht: In 20 m sind es 2,011 Liter, in 40 m nur noch 1,208 Liter.

Im Rechner wählst du dafür den Modus Wassertiefe, gibst Luftvolumen und Luftdruck an der Oberfläche ein und siehst in der Tabelle alle Tiefen von 0 bis 40 Metern in Schritten von 5 Metern auf einen Blick.

Aus 6 Litern Luft an der Oberfläche werden in 30 m Meerwasser 1,509 Liter, in 30 m Süßwasser 1,537 Liter.

Der Grund: Der absolute Druck steigt von 1,01325 bar auf 4,029 bar (Meerwasser) beziehungsweise 3,955 bar (Süßwasser), also auf knapp das Vierfache. Rechnung: 6 l · 1,01325 bar ÷ 4,029 bar = 1,509 l.

Umgekehrt dehnt sich Luft beim Auftauchen aus: Dieselben 1,509 Liter aus 30 m wären an der Oberfläche wieder 6 Liter, und eine Boje oder ein Hebesack muss für diese Ausdehnung Platz haben. Der Rechner zeigt die Werte für 0 bis 40 m in einer Tabelle.

Er ist aber kein Tauchplaner: Atemgasverbrauch und Dekompression fehlen, Tauchausbildung und Tauchcomputer bleiben maßgeblich. Als Obergrenze setzt der Rechner 100 m.

Gibst du mehr ein, begrenzt er die Tiefe und schreibt den Grund in den Hinweis, statt still mit einem anderen Wert zu rechnen.

Dann gilt das Boyle-Mariotte-Gesetz nicht mehr allein, denn es beschreibt eine Isotherme, also eine Änderung bei konstanter Temperatur.

Wird ein Gas schnell verdichtet, erwärmt es sich, und der Druck liegt zunächst höher als p₂ = p₁ · V₁ ÷ V₂ ergibt; nach dem Abkühlen auf die Ausgangstemperatur stimmt das Ergebnis wieder.

Ändert sich die Temperatur absichtlich, brauchst du die allgemeine Gasgleichung p · V = N · k · T aus dem Lehrbuch OpenStax University Physics, in der die Temperatur in Kelvin als Faktor steht.

Bei konstantem Volumen wächst der Druck dann proportional zur Kelvin-Temperatur. Der Rechner kennt keine Temperatureingabe und weist im Hinweis darauf hin, dass T konstant sein muss.

Für Erwärmung und Energiebedarf eines Stoffes hilft der Wärmekapazität-Rechner in derselben Unterkategorie, für die Gasmenge in Mol der Stoffmenge-Rechner. Rechne bei Temperaturänderungen nie mit dem Boyle-Mariotte-Ergebnis allein weiter.

Weil 1,01325 bar der Normdruck sind: Die „standard atmosphere“ beträgt laut CODATA 2022 des amerikanischen Instituts NIST genau 101.325 Pa.

Der tatsächliche Luftdruck schwankt mit Wetter und Höhe um einige Prozent und liegt auf einem Berg deutlich darunter. Der Rechner nimmt den Normwert, damit Ergebnisse reproduzierbar bleiben: Aus 0 bar Überdruck macht er 1,01325 bar absolut.

Willst du mit dem Druck des Tages rechnen, wähle die Druckart „absolut“ und trage den Wert aus dem Wetterbericht ein, zum Beispiel 990 hPa.

Die Abweichung wirkt direkt auf das Ergebnis: Bei 990 statt 1.013,25 hPa Außendruck ändert sich ein Überdruckergebnis um etwa 0,023 bar.

Für Schulaufgaben, Pumpen und Spritzen ist das vernachlässigbar, bei genauen Messungen oder großen Höhenunterschieden nicht.

Im Modus Wassertiefe trägst du den Oberflächendruck ohnehin selbst ein; dort bestimmt dein Wert, ob mit Normdruck oder Tagesdruck gerechnet wird.

Nein, für alle Drücke gilt im Rechner dieselbe Einheit, also kann p₁ nicht in bar und p₂ in psi stehen. Rechne vorab um oder wähle die Einheit, in der deine Angaben vorliegen.

Die Umrechnung läuft intern über Pascal: 1 bar sind 100.000 Pa, 1 hPa sind 100 Pa, 1 atm sind 101.325 Pa und 1 psi sind 6.894,757 Pa (NIST Guide to the SI, Anhang B.8).

Ein Druck von 3 psi in einer 500-ml-Kammer, auf 125 ml gedrückt, wird zu 12 psi, denn nur das Verhältnis zählt, nicht die Einheit. Druck- und Volumeneinheit dürfen sich dagegen unterscheiden: bar mit Millilitern ist in Ordnung.

Typischer Fehler: hPa eintragen, aber bar im Kopf behalten; dann liegt jede Rechnung um den Faktor 1.000 daneben. Stelle deshalb zuerst Druckeinheit und Volumeneinheit ein und trage danach die Zahlen ein. Das Ergebnis erscheint in derselben Einheit.

Eine feste Grenze gibt es nicht, weil die Abweichung mit dem Druck langsam wächst. Der Rechner warnt ab 100 bar absolut; das ist eine Warnmarke des Programms, keine Naturkonstante.

Bei sehr hohen Drücken oder tiefen Temperaturen nahe der Verflüssigung berühren sich die Gasteilchen, und ihr Eigenvolumen fällt ins Gewicht, das ein ideales Gas vernachlässigt.

Das Lehrbuch OpenStax University Physics nennt dafür die Van-der-Waals-Gleichung als Korrektur. Beispiel: Aus 10 Litern bei 150 bar und 1 Liter nach dem Verdichten liefert der Rechner 1.500 bar; für reale Luft ist das nur eine grobe Näherung.

Im Alltag bis wenige bar, bei Luftpumpen, Spritzen und Tauchtiefen bis 40 m, ist die Näherung gut.

Für Druckbehälter, Flaschen mit 200 bar oder Prüfaufgaben nutze Datenblätter, Normen und Fachpersonal; der Rechner ersetzt keine Auslegung nach Vorschrift. Brauchst du ein Ergebnis über 100 bar, vergleiche es mit Tabellenwerten für das konkrete Gas.