Kirchhoffsche Regeln berechnen: Knoten- und Maschenregel

Die Knotenregel, das erste kirchhoffsche Gesetz, besagt: An jedem Knoten eines Stromkreises ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme, kurz ΣI = 0.

Physikalisch folgt das aus der Ladungserhaltung – an einem Verzweigungspunkt kann sich keine Ladung ansammeln, jeder Strom, der hineinfließt, muss auch wieder herausfließen.

Der Kirchhoff-Rechner macht diese Regel im Parallel-Modus sichtbar: Bei drei Widerständen von 100 Ω, 220 Ω und 470 Ω an 12 V liefert er Zweigströme von 120 mA, 54,545 mA und 25,532 mA, deren Summe exakt dem ausgewiesenen Gesamtstrom von 200,08 mA entspricht.

Weicht die Summe der Zweigströme in einer eigenen Rechnung vom Gesamtstrom ab, liegt fast immer ein falsch übertragener Widerstandswert vor, nicht ein Fehler der Knotenregel selbst.

Trage deshalb jeden Zweig einzeln in den Rechner ein und vergleiche die Summe mit dem Gesamtstrom, bevor du das Ergebnis für eine Schaltung übernimmst.

Die Maschenregel, das zweite kirchhoffsche Gesetz, besagt: In jeder geschlossenen Masche eines Stromkreises ist die Summe aller Spannungsanstiege und Spannungsabfälle null, kurz ΣU = 0.

Sie folgt aus der Energieerhaltung – durchläufst du eine Masche einmal vollständig, muss sich die eingespeiste Spannung exakt in den Spannungsabfällen der Bauteile wiederfinden.

Im Reihen-Modus des Kirchhoff-Rechners lässt sich das direkt nachrechnen: Bei drei Widerständen von 100 Ω, 220 Ω und 470 Ω an 12 V ergeben sich Spannungsabfälle von 1,519 V, 3,342 V und 7,139 V, deren Summe exakt die eingegebenen 12 V der Quelle ergibt.

Nur wenn diese Bilanz aufgeht, ist die Masche korrekt berechnet; geht sie nicht auf, fehlt meist ein Zweig oder ein Widerstandswert wurde falsch übertragen.

Prüfe deshalb nach jeder Reihenschaltung, ob die Summe der Zweigspannungen mit der Gesamtspannung übereinstimmt, bevor du das Ergebnis weiterverwendest.

Es gibt genau zwei kirchhoffsche Regeln: die Knotenregel (ΣI = 0) für Ströme an einem Verzweigungspunkt und die Maschenregel (ΣU = 0) für Spannungen in einem geschlossenen Umlauf.

Beide gehen auf Gustav Robert Kirchhoff zurück und bilden zusammen die Grundlage der klassischen Netzwerkanalyse für Gleichstromkreise.

Der Kirchhoff-Rechner bildet beide Regeln über seine zwei Modi ab: Der Parallel-Modus zeigt die Knotenregel, etwa wenn 100 Ω, 220 Ω und 470 Ω an 12 V liegen und sich die Zweigströme 120 mA, 54,545 mA und 25,532 mA zum Gesamtstrom von 200,08 mA addieren.

Der Reihen-Modus zeigt dagegen die Maschenregel, weil dieselben drei Widerstände an derselben Spannung Spannungsabfälle von 1,519 V, 3,342 V und 7,139 V liefern, deren Summe wieder genau 12 V ergibt.

Mehr als diese beiden Regeln braucht ein reines Gleichstromnetzwerk aus ohmschen Widerständen nicht; erst bei mehreren gekoppelten Zweigen und Quellen wird eine vollständige Gleichungssystemlösung von Hand nötig.

Der Unterschied liegt in der Bezugsgröße: Die Knotenregel bilanziert Ströme an einem Verzweigungspunkt, die Maschenregel bilanziert Spannungen entlang eines geschlossenen Umlaufs.

Die Knotenregel (ΣI = 0) beruht auf der Ladungserhaltung, die Maschenregel (ΣU = 0) auf der Energieerhaltung – beide Erhaltungssätze wirken in jeder Schaltung gleichzeitig, aber an unterschiedlichen Stellen.

Ein Beispiel macht den Unterschied greifbar: Im Kirchhoff-Rechner liefern dieselben drei Widerstände (100 Ω, 220 Ω, 470 Ω) je nach Modus unterschiedliche Werte.

Parallel geschaltet an 12 V liefert die Knotenregel Zweigströme von 120 mA, 54,545 mA und 25,532 mA, die sich zu 200,08 mA Gesamtstrom summieren.

In Reihe geschaltet an denselben 12 V liefert die Maschenregel dagegen Spannungsabfälle von 1,519 V, 3,342 V und 7,139 V, die sich zu den vollen 12 V summieren.

Wähle deshalb den passenden Modus abhängig davon, ob deine Aufgabe eine Stromaufteilung an einem Knoten oder eine Spannungsaufteilung in einer Masche beschreibt.

Der Maschensatz ist ein anderer Name für die Maschenregel und meint dieselbe Gleichung: ΣU = 0 für jede geschlossene Masche eines Stromkreises.

Die Maschengleichung ist die konkrete Formel, mit der du diese Regel für eine bestimmte Masche aufschreibst, etwa U_Quelle − U_R1 − U_R2 = 0.

Im Kirchhoff-Rechner lässt sich der Maschensatz direkt nachvollziehen: Für zwei Widerstände von 100 Ω und 200 Ω in Reihe an 12 V lautet die Maschengleichung 12 V − 4 V − 8 V = 0, denn der Rechner liefert für diese Werte einen Strom von 40 mA sowie Spannungsabfälle von 4 V und 8 V.

Damit die Maschengleichung aufgeht, müssen alle Spannungsquellen und alle Spannungsabfälle der Masche mit korrektem Vorzeichen erfasst sein; fehlt ein Bauteil oder wird ein Vorzeichen vertauscht, stimmt die Bilanz nicht mehr.

Nutze den Rechner deshalb auch, um eine von Hand aufgestellte Maschengleichung an einem einfachen Beispiel gegenzuprüfen.

Mit der Knotenregel berechnest du einen fehlenden Zweigstrom, indem du die bekannten Ströme an einem Knoten addierst beziehungsweise subtrahierst, bis ΣI = 0 erfüllt ist.

Fließen etwa zwei Ströme in einen Knoten hinein und ist nur ein abfließender Zweig unbekannt, muss dieser Zweig genau die Summe der einfließenden Ströme führen.

Der Kirchhoff-Rechner liefert dafür in seinem Parallel-Modus ein direktes Beispiel: Bei zwei gleich großen Widerständen von je 50 Ω an 10 V teilt sich der Gesamtstrom von 400 mA exakt in zwei Zweigströme von je 200 mA auf, die Knotenregel ist damit für diesen Knoten erfüllt.

Weichen die addierten Zweigströme später von einem gemessenen Gesamtstrom ab, liegt die Ursache in der Regel an einem falsch abgelesenen Widerstandswert oder einem übersehenen Zweig, nicht an der Knotenregel selbst.

Notiere dir deshalb vor der Rechnung, wie viele Zweige tatsächlich am Knoten zusammenlaufen.

Bei der Maschenregel beachtest du die Vorzeichen, indem du vor dem Rechnen einen Umlaufsinn festlegst und daran festhältst: Spannungsquellen und Spannungsabfälle, die in Umlaufrichtung wirken, zählen positiv, alle entgegengesetzt gerichteten negativ.

Ein negatives Ergebnis ist dabei kein Rechenfehler, sondern zeigt nur, dass die reale Spannung oder der reale Strom entgegen der angenommenen Richtung fließt.

Der Kirchhoff-Rechner selbst rechnet ausschließlich mit reinen ohmschen Reihen- und Parallelschaltungen ohne wechselnde Polung, deshalb bleiben seine Zweigwerte immer positiv – bei drei Widerständen von 100 Ω, 220 Ω und 470 Ω in Reihe an 12 V etwa liefert er ausnahmslos positive Spannungsabfälle von 1,519 V, 3,342 V und 7,139 V, die sich zu 12 V summieren.

Für Netzwerke mit mehreren Quellen und unterschiedlichen Umlaufrichtungen bleibt die Vorzeichenkontrolle jedoch von Hand nötig, weil sie über die reine Reihen- oder Parallelrechnung hinausgeht.

Zeichne dir die Schaltung deshalb immer mit einem einheitlichen Pfeilsinn auf, bevor du eine Maschengleichung von Hand aufstellst.

Eine komplette Aufgabe rechnest du durch, indem du zuerst mit der Knotenregel alle unbekannten Zweigströme bestimmst und anschließend mit der Maschenregel die zugehörigen Spannungsabfälle prüfst.

Ein durchgerechnetes Beispiel: Bei zwei Widerständen von 47 Ω und 100 Ω in Reihe an 9 V liefert der Kirchhoff-Rechner einen Strom von 61,22 mA sowie Spannungsabfälle von 2,8776 V und 6,1224 V.

Die Maschenregel bestätigt das Ergebnis, denn 2,8776 V plus 6,1224 V ergeben wieder genau die eingegebenen 9 V der Quelle – die Masche ist damit widerspruchsfrei geschlossen.

Für eine Parallelschaltung läuft die Kontrolle stattdessen über die Knotenregel, weil sich der Gesamtstrom dort exakt als Summe der einzelnen Zweigströme ergeben muss, so wie es der Rechner für jede Parallelschaltung ausweist.

Ohne diesen Vergleich bleibt nicht sicher erkennbar, ob im Netzwerk ein Zweig fehlt oder falsch übertragen wurde. Rechne deshalb bei komplexeren Aufgaben immer beide Regeln nacheinander durch, bevor du ein Ergebnis als korrekt übernimmst.

In der Reihenschaltung wendest du vor allem die Maschenregel an, in der Parallelschaltung vor allem die Knotenregel – der Kirchhoff-Rechner bildet genau diese Aufteilung über seine zwei Modi ab.

Bei identischen Widerständen von 100 Ω, 220 Ω und 470 Ω an 12 V zeigt der Reihen-Modus einen Gesamtwiderstand von 790 Ω und einen Strom von 15,19 mA, während derselbe Widerstandssatz im Parallel-Modus nur rund 60 Ω Gesamtwiderstand und 200,08 mA Gesamtstrom ergibt – mehr als das Dreizehnfache.

Dieser Unterschied entsteht, weil sich in der Reihenschaltung die Widerstände addieren (Maschenregel), während sich in der Parallelschaltung die Leitwerte addieren (Knotenregel).

Wähle den Reihen-Modus, wenn durch alle Bauteile derselbe Strom fließt, und den Parallel-Modus, wenn alle Zweige an derselben Spannung liegen; bei gemischten Netzwerken aus beiden Strukturen reicht keiner der beiden Modi allein aus.

Zerlege eine solche Schaltung deshalb zunächst in reine Reihen- und Parallelabschnitte, bevor du sie im Rechner abbildest.