Kirchhoffsche Regeln berechnen: Knoten- und Maschenregel

Es gibt zwei kirchhoffsche Regeln, die zusammen die Grundlage der Netzwerkanalyse bilden. Die erste ist die Knotenregel (Stromgesetz): An jedem Knoten ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme, kurz ΣI = 0.

Die zweite ist die Maschenregel (Spannungsgesetz): In jeder geschlossenen Masche ist die Summe aller Spannungsanstiege und Spannungsabfälle null, kurz ΣU = 0.

Gemeinsam erlauben sie es, Ströme und Spannungen in verzweigten Schaltungen zu bestimmen, die sich mit reinen Reihen- oder Parallelformeln nicht mehr lösen lassen.

Der Kirchhoff-Rechner setzt beide Regeln um und liefert Gesamtwiderstand, Gesamtstrom, Gesamtleistung und die Zweigwerte, sodass du jede Bilanz direkt nachvollziehen kannst.

Gibst du etwa drei Parallelwiderstände von 100 Ω, 200 Ω und 400 Ω bei 10 V ein, zeigt die Zweigtabelle die Zweigströme 100 mA, 50 mA und 25 mA – deren Summe 175 mA ist per Knotenregel der Gesamtstrom.

Die Maschenregel wird gleichzeitig bestätigt, da an jedem Parallelzweig dieselbe Klemmenspannung von 10 V anliegt.

Es gibt genau zwei kirchhoffsche Regeln: die Knotenregel und die Maschenregel. Beide wurden von Gustav Robert Kirchhoff formuliert und werden oft auch als kirchhoffsche Gesetze bezeichnet.

Die erste Regel, die Knotenregel, beschreibt die Erhaltung der Ladung an einem Verzweigungspunkt: Es kann nicht mehr Strom abfließen, als zufließt.

Die zweite Regel, die Maschenregel, beschreibt die Erhaltung der Energie in einem geschlossenen Umlauf: Die Spannung baut sich entlang einer Masche vollständig wieder ab.

Mehr als diese beiden Regeln braucht es für die klassische Gleichstrom-Netzwerkanalyse nicht – zusammen mit dem ohmschen Gesetz lassen sich damit beliebige Widerstandsnetzwerke lösen, was der Rechner für Reihen- und Parallelschaltungen automatisiert.

Im Kirchhoff-Rechner spiegelt sich die Knotenregel in der Zweigstrom-Aufschlüsselung wider, während die Maschenregel durch den Abgleich der Spannungsfälle gegen die eingegebene Quellenspannung bestätigt wird.

Diese beiden Kontrollgrößen zusammen zeigen, dass das Netzwerk physikalisch konsistent berechnet wurde.

Die erste kirchhoffsche Regel ist die Knotenregel und lautet ΣI = 0: An jedem Knoten ist die Summe aller zufließenden Ströme gleich der Summe aller abfließenden Ströme.

Physikalisch steckt dahinter die Ladungserhaltung – an einem Verzweigungspunkt sammelt sich keine Ladung an. Beispiel: Fließen in einen Knoten 0,8 A und 0,35 A hinein, muss der dritte Zweig genau 1,15 A abführen.

In einer Parallelschaltung teilt sich der Gesamtstrom nach genau dieser Regel auf die Zweige auf, wobei der niederohmigste Zweig den größten Anteil übernimmt.

Der Kirchhoff-Rechner wendet die Knotenregel automatisch an und zeigt in der Zweigtabelle, wie sich der Gesamtstrom auf die einzelnen Widerstände verteilt.

Wenn du im Rechner zum Beispiel drei Zweige mit 50 Ω, 100 Ω und 200 Ω parallel bei 10 V betreibst, berechnet er die Zweigströme 200 mA, 100 mA und 50 mA – deren Summe 350 mA entspricht exakt dem Gesamtstrom, wie es die Knotenregel fordert.

Die kirchhoffschen Gesetze umfassen die Knotenregel für Ströme und die Maschenregel für Spannungen. Die Knotenregel (ΣI = 0) gilt an jedem Verzweigungspunkt und folgt aus der Ladungserhaltung.

Die Maschenregel (ΣU = 0) gilt für jeden geschlossenen Umlauf und folgt aus der Energieerhaltung: Durchläufst du eine Masche, summieren sich Quellenspannungen und Spannungsabfälle zu null.

Beispiel: In einer Reihenschaltung mit 12 V und zwei Widerständen R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω fließt I = 0,04 A; an R1 fallen 4 V ab, an R2 8 V – zusammen 12 V, also genau die Quellenspannung.

Der Rechner prüft diese Bilanz automatisch und macht über die Zweigwerte sichtbar, ob deine Schaltung konsistent ist.

Im Kirchhoff-Rechner kannst du diese Gesetze direkt nachvollziehen: Die Zweigtabelle zeigt für jede Reihenschaltung, dass die Spannungsfälle in der Summe exakt der Quellenspannung entsprechen (Maschenregel), und für jede Parallelschaltung, dass die Zweigströme zusammen den Gesamtstrom ergeben (Knotenregel).

Das kirchhoffsche Stromgesetz, also die Knotenregel, lautet in Formelschreibweise ΣI = 0 oder gleichbedeutend Σ I_zu = Σ I_ab.

Das heißt: Zählst du alle Ströme an einem Knoten mit Vorzeichen (zufließend positiv, abfließend negativ), ergibt ihre Summe null.

Praktisch rechnest du etwa: Fließen I1 = 2 A und I2 = 1,5 A in einen Knoten und verlassen ihn über zwei weitere Zweige, muss I3 + I4 = 3,5 A betragen.

Ein negatives Ergebnis bedeutet dabei nur, dass der reale Strom entgegen der angenommenen Pfeilrichtung fließt – kein Rechenfehler.

Der Kirchhoff-Rechner setzt das Stromgesetz für jede Parallelverzweigung um und liefert die Zweigströme samt Spannungsfall und Verlustleistung.

In der Zweigtabelle des Kirchhoff-Rechners kannst du das Stromgesetz direkt überprüfen: Die Summe aller ausgegebenen Zweigströme muss stets exakt dem Gesamtstrom entsprechen.

Gibt es eine Abweichung, deutet das auf einen Eingabefehler beim Widerstandswert hin, nicht auf einen Fehler in der KCL-Berechnung.

Die Maschenregel, das zweite kirchhoffsche Gesetz, besagt ΣU = 0: In jeder geschlossenen Masche heben sich Spannungsanstiege und Spannungsabfälle vollständig auf.

Du wählst dazu einen Umlaufsinn und addierst entlang der Masche alle Quellenspannungen und alle Spannungsabfälle an den Widerständen mit korrektem Vorzeichen.

Beispiel: In einer Masche mit 9 V Quellenspannung und drei Widerständen, an denen 3,5 V, 5,25 V und 0,25 V abfallen, ergibt 9 − 3,5 − 5,25 − 0,25 = 0 – die Masche ist konsistent.

Stimmt die Summe nicht, fehlt meist ein Zweig oder ein Vorzeichen ist falsch. Der Rechner nutzt die Maschenregel, um Spannungsfälle in Reihenschaltungen zu bestimmen und ihre Summe gegen die Gesamtspannung zu prüfen.

Im Kirchhoff-Rechner lässt sich die Maschenregel für eine Reihenschaltung so nachprüfen: Die Summe der in der Zweigtabelle angezeigten Spannungsfälle muss exakt der eingegebenen Gesamtspannung entsprechen.

Weicht die Summe ab, liegt ein Eingabefehler vor, da der Rechner KVL intern stets erfüllt.

Eine vollständige Aufgabe kombiniert beide Regeln. Beispiel: An einem T-Knoten fließen I1 = 350 mA und I2 = 120 mA hinein; die Knotenregel ergibt sofort I3 = 470 mA als Abfluss.

In der zugehörigen Masche liegt eine 9-V-Quelle; an R1 = 10 Ω fallen 3,5 V ab, an R2 = 15 Ω fallen 5,25 V ab. Die Maschenregel ΣU = 0 fordert: 9 V − 3,5 V − 5,25 V = 0,25 V müssen am Innenwiderstand der Quelle abfallen.

So schließen sich Zweigströme und Maschenspannungen widerspruchsfrei.

Der Kirchhoff-Rechner nimmt dir diese Schritte ab: Du gibst Widerstände und Gesamtspannung ein, und die Zweigtabelle liefert Strom, Spannungsfall und Leistung jedes Glieds als Lösung zum Nachvollziehen.

Diese Schrittfolge – zuerst KCL für die Knotengleichgewichte, dann KVL für die Maschenbilanzen – ist das Herzstück jeder Gleichstrom-Netzwerkanalyse. Der Rechner führt beide automatisch durch und zeigt das Ergebnis aufgeschlüsselt nach Zweig.

Ja, die kirchhoffschen Regeln gelten grundsätzlich auch für Wechselstrom, allerdings in erweiterter Form. Bei Gleichstrom rechnest du mit reinen Strom- und Spannungswerten, wie es dieser Rechner abbildet.

Bei Wechselstrom musst du zusätzlich Phasenlage und Frequenz berücksichtigen: Statt mit reellen Zahlen rechnest du mit komplexen Größen (Zeigern) und ersetzt Widerstände durch Impedanzen, die auch Kondensatoren und Spulen einschließen.

Die Knotenregel ΣI = 0 und die Maschenregel ΣU = 0 bleiben dabei gültig, gelten aber für die komplexen Augenblickswerte beziehungsweise Effektivwerte mit Phase.

Dieser Rechner deckt den Gleichstromfall mit ohmschen Widerständen ab; für reine Wechselstromnetze mit Blindwiderständen brauchst du eine Impedanzbetrachtung, etwa über den RC-Filter- oder LC-Resonanzkreis-Rechner.

Praktisch bedeutet das: Gibst du in den Kirchhoff-Rechner rein ohmsche Widerstände ein, sind Knotenregel und Maschenregel reale Gleichungen ohne Phasenversatz.

Wechselstrom-Netzwerke mit Blindanteilen erfordern dagegen komplexe KCL- und KVL-Gleichungssysteme, die ein Impedanz-Rechner automatisch löst.