Stichprobengröße berechnen: Umfrage, Mittelwert, Power

Für eine Umfrage gilt n₀ = z² · p · (1 − p) / e². Du setzt das Quantil z zum Konfidenzniveau ein (1,96 bei 95 %), den erwarteten Anteil p und die Fehlermarge e jeweils als Dezimalzahl.

Mit p = 0,5 und e = 0,05 ergibt sich 1,96² · 0,25 / 0,0025 = 384,15, aufgerundet 385 gültige Antworten. Für einen Mittelwert lautet die Formel n₀ = (z · σ / E)²; bei σ = 10 und E = 2 sind es 96,04, also 97 Beobachtungen.

Gerundet wird nur einmal und immer nach oben, weil 384 Antworten die gewünschte Genauigkeit knapp verfehlen würden.

Die Größe der Grundgesamtheit steht nicht in dieser Grundformel; sie kommt nur über die Endlichkeitskorrektur ins Spiel, wenn N klein ist.

Wähle im Rechner den passenden Modus, trage Konfidenzniveau, Fehlermarge und p ein und lies im Rechenweg jede Zwischengröße ab. So kannst du die Zahl auch von Hand gegenprüfen, bevor sie in einem Studienplan oder Angebot steht.

Weil die Fehlermarge von der Zahl der Antworten abhängt und kaum von der Größe der Grundgesamtheit.

Eine Zufallsstichprobe mit 385 gültigen Antworten liefert bei 95 % Sicherheit und p = 50 % eine Genauigkeit von ±5 Prozentpunkten, ob die Grundgesamtheit 100.000 Personen umfasst (dann genügen sogar 383) oder 80 Millionen.

Der Eindruck, ein größeres Land brauche proportional mehr Befragte, ist eine Fehlannahme: Eine Suppe schmeckst du mit einem Löffel ab, egal ob der Topf klein oder groß ist, solange du gut gerührt hast. Entscheidend ist das Wort „zufällig“.

Eine Online-Umfrage, an der nur Interessierte teilnehmen, wird durch 385 Antworten nicht repräsentativ.

Außerdem gelten die ±5 Prozentpunkte für das Gesamtergebnis; wertest du nach Altersgruppen aus, brauchst du für dieselbe Genauigkeit je Gruppe wieder 385.

Plane deshalb zuerst die Auswertungsgruppen, dann die Stichprobe, und prüfe die Zufälligkeit, bevor du über die Fallzahl diskutierst.

Sobald die Stichprobe einen spürbaren Teil der Grundgesamtheit ausmacht. Dann wirkt die Endlichkeitskorrektur n = n₀ / (1 + (n₀ − 1) / N).

Bei 95 %, ±5 Prozentpunkten und p = 50 % siehst du im Rechner: N = 200 braucht nur 132 Antworten, N = 1.000 braucht 278, N = 2.000 braucht 323, N = 10.000 braucht 370 und N = 100.000 braucht 383 statt 385.

Der Auswahlsatz n / N zeigt dir, wie stark die Korrektur greift; bei 27,8 % (N = 1.000) spart sie über ein Viertel der Befragungen, bei 0,4 % (N = 100.000) fast nichts.

Trage N nur ein, wenn du die Zahl wirklich kennst, etwa die Beschäftigten eines Betriebs oder die Mitglieder eines Vereins.

Liegt das Ergebnis in der Nähe von N, ist eine Vollerhebung oft einfacher als eine Auswahl: Bei N = 10 lautet die Antwort 10, und der Rechner weist darauf hin.

Nimm 50 %. Der Term p · (1 − p) ist bei 50 % am größten (0,25), die Formel liefert also die größte und damit sicherste Stichprobe. Jede andere Annahme senkt n: Mit p = 20 % genügen bei ±5 Prozentpunkten und 95 % nur 246 statt 385 Antworten.

Das ist nur gerechtfertigt, wenn eine Vorstudie, eine frühere Befragung oder eine amtliche Statistik den Anteil stützt; Wunschdenken zählt nicht, denn liegt der wahre Anteil höher, ist die tatsächliche Fehlermarge größer als geplant.

Bemerkenswert: Auch p = 10 % und e = 3 % ergeben 385, weil 0,09 / 0,0009 genauso groß ist wie 0,25 / 0,0025. Bei seltenen Merkmalen unter 5 % oder über 95 % warnt der Rechner, weil die Normalnäherung dort grob wird.

Ist die Fehlermarge größer als der kleinere Anteil, etwa p = 3 % bei e = 5 %, reicht das Intervall über die 0-%-Grenze hinaus; wähle dann eine kleinere Fehlermarge.

Teile die benötigte Zahl gültiger Antworten durch die erwartete Rücklaufquote und runde auf. Bei 278 Antworten und 40 % Rücklauf sind das 278 / 0,4 = 695 Personen, die du ansprechen musst; bei 292 Antworten und 45 % sind es 649.

Der Rechner nimmt dafür die ganzzahlige Nettozahl, nicht den Rechenwert davor, damit Brutto mal Quote immer mindestens die Nettozahl ergibt (695 · 0,4 = 278).

Wer nur 278 Personen einlädt, bekommt bei 40 % Rücklauf bloß etwa 111 Antworten und verfehlt die geplante Genauigkeit deutlich.

Beim Gruppenvergleich gilt dieselbe Rechnung für jede Gruppe: 63 Teilnehmende je Gruppe und 15 % Ausfall bedeuten 75 je Gruppe.

Die Rücklaufquote erhöht die Menge, nicht die Qualität: Antworten von nur Motivierten verzerren das Ergebnis, auch wenn die Zahl stimmt. Fasse deshalb nach und vergleiche die Antwortenden mit der Grundgesamtheit, etwa nach Abteilung oder Alter.

Das hängt von der erwarteten Effektstärke d, dem Signifikanzniveau α und der Teststärke 1 − β ab.

Für einen mittleren Effekt (d = 0,5), α = 5 % zweiseitig und 80 % Teststärke liefert die Normalapproximation n = 2 · (1,96 + 0,8416)² / 0,5² = 62,79, aufgerundet 63 je Gruppe, zusammen 126.

Der t-Test hat eine breitere Verteilung als die Normalverteilung, deshalb ergänzt der Rechner die Korrektur von Guenther und nennt 64 je Gruppe; eine exakte Rechnung mit der t-Verteilung, wie sie auch Statistik-Software wie G*Power nutzt, ergibt ebenfalls 64.

Plane mit dieser Zahl. Für 90 % Teststärke steigt der Bedarf bei d = 0,5 auf 85 je Gruppe (86 mit Korrektur), bei α = 1 % auf 94.

Die Poweranalyse gilt für gleich große Gruppen und gleiche Streuung; für andere Designs brauchst du Fachsoftware oder eine Beratung.

Rechne Ausfälle über die Rücklaufquote ein und plane für den Test immer mit der Anzahl, die am Ende wirklich auswertbar ist.

Nimm den kleinsten Unterschied, der für dich fachlich noch eine Rolle spielt, geteilt durch die erwartete Standardabweichung. Cohen (1988) nennt als Konvention 0,2 für klein, 0,5 für mittel und 0,8 für groß.

Diese Werte sind Hilfsmittel, keine Naturkonstanten: Bei 80 % Teststärke und α = 5 % brauchst du für d = 0,2 gleich 393 Beobachtungen je Gruppe, für d = 0,5 nur 63 und für d = 0,8 nur 25.

Die Effektstärke wirkt also mit ihrem Quadrat: Halbiert sich d, vervierfacht sich n. Setzt du d aus Optimismus zu groß an, ist der Test zu schwach und übersieht reale Unterschiede; setzt du es aus Vorsicht zu klein an, wird die Studie unnötig teuer.

Besser sind Vorstudien, Literaturwerte oder eine begründete Mindestdifferenz, etwa 3,5 Punkte bei σ = 10 (d = 0,35, dann 129 je Gruppe). Dokumentiere die Annahme zusammen mit dem Ergebnis, damit andere sie prüfen können.

Aus einer Vorstudie, einer Norm, früheren Messreihen oder einer kleinen Pilotmessung mit etwa 20 bis 30 Werten, deren Standardabweichung du mit dem Standardabweichungs-Rechner bestimmst.

Wichtig ist, dass n quadratisch mit σ wächst: Bei E = 2 braucht σ = 10 genau 97 Beobachtungen, σ = 20 aber schon 385.

Eine zu klein geschätzte Streuung führt deshalb zu einer deutlich zu kleinen Stichprobe, und der Fehler fällt erst nach der Erhebung auf. Plane im Zweifel mit einem vorsichtigen, eher größeren σ.

Auch die Genauigkeit E wirkt quadratisch: Halbierst du E von 2 auf 1, steigt n bei σ = 10 von 97 auf 385. Liegt n unter 30, nutze die Zahl als Untergrenze, denn mit der t-Verteilung braucht man meist ein bis zwei Beobachtungen mehr.

Hast du die Daten erhoben, bildest du daraus mit dem Konfidenzintervall-Rechner das Intervall und prüfst, ob die erreichte Genauigkeit E tatsächlich eingehalten wurde.