Freiheitsgrade Statistik: t-Test, Welch, χ², ANOVA berechnen

Beim Ein-Stichproben-t-Test und beim gepaarten Test gilt df = n − 1. Bei 11 Messwerten sind das 10 Freiheitsgrade, und der kritische t-Wert beträgt bei α = 5 % zweiseitig 2,228.

Beim gepaarten Test zählst du die Paare: 15 Paare ergeben 14 Freiheitsgrade und 2,145, denn aus den Paaren entstehen 15 Differenzen, und die bilden eine einzige Stichprobe.

Beim Zwei-Stichproben-Test mit gleichen Varianzen gilt df = n₁ + n₂ − 2: Mit 12 und 15 Werten sind es 25 Freiheitsgrade und der kritische Wert 2,060.

In jedem Fall geht je ein Freiheitsgrad für jeden geschätzten Mittelwert verloren, also einer pro Stichprobe. Die Formel ersetzt keine Prüfung der Voraussetzungen, denn der t-Test setzt annähernd normalverteilte Daten oder Differenzen voraus.

Wähle im Rechner das Verfahren und trage die Umfänge ein, dann zeigt er df, den Rechenweg und die Schwelle für α = 10, 5 oder 1 Prozent.

Der Welch-Test rechnet mit der Welch-Satterthwaite-Gleichung df = (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)² ÷ [(s₁²/n₁)²/(n₁ − 1) + (s₂²/n₂)²/(n₂ − 1)]. Mit s₁ = 2, n₁ = 10, s₂ = 4 und n₂ = 15 ergibt sich df = 21,72.

Das Ergebnis liegt immer zwischen min(n₁ − 1; n₂ − 1) = 9 und n₁ + n₂ − 2 = 23, und es ist selten ganzzahlig.

Statistik-Software nutzt den exakten Wert und kommt auf t = 2,075; wer in der Tabelle abliest, rundet auf 21 ab und nimmt 2,080, was etwas vorsichtiger ist.

Die Reihenfolge der Streuungen zählt: Mit s₁ = 4 und s₂ = 2 sinkt df auf 12,04, weil die große Streuung in der kleineren Gruppe liegt.

Bei gleichen Umfängen und gleichen Streuungen fällt Welch mit der gepoolten Formel zusammen, zum Beispiel df = 18 bei n₁ = n₂ = 10. Der Rechner zeigt Zähler, Nenner und das Ergebnis Schritt für Schritt an.

Beim Unabhängigkeitstest einer Kontingenztafel gilt df = (r − 1)(c − 1), mit r Zeilen und c Spalten ohne Summenzeile. Eine 3 × 4-Tafel hat 6 Freiheitsgrade, der kritische Wert beträgt bei α = 5 % 12,592.

Der Grund: Die Randsummen stehen fest, deshalb ist in jeder Zeile und in jeder Spalte die letzte Zelle durch die übrigen bestimmt, und nur 2 × 3 Zellen sind frei.

Beim Anpassungstest gilt df = k − 1 − m, mit k Kategorien und m aus den Daten geschätzten Parametern. Ein fairer Würfel mit 6 Augenzahlen hat 5 Freiheitsgrade und die Schwelle 11,070.

Passt du dagegen eine Normalverteilung mit geschätztem Mittelwert und geschätzter Streuung an 8 Klassen an, sind es 8 − 1 − 2 = 5, also ebenfalls 5 Freiheitsgrade, aber aus einem ganz anderen Grund.

Der χ²-Test ist einseitig: Es gibt nur die obere Schwelle, eine Auswahl der Testrichtung entfällt.

Die einfaktorielle ANOVA hat zwei Freiheitsgrade: df₁ = k − 1 für die Unterschiede zwischen den Gruppen und df₂ = N − k für die Streuung innerhalb der Gruppen. Mit 3 Gruppen und 30 Beobachtungen sind es df₁ = 2 und df₂ = 27, zusammen 29 = N − 1.

Der kritische F-Wert für α = 5 % beträgt 3,354, bei α = 1 % sind es 5,488. Du liest ihn in der F-Tabelle in der Spalte für df₁ und der Zeile für df₂ ab; der Rechner nimmt dir das Nachschlagen ab.

Der Zähler gehört immer zu den Gruppen, der Nenner zum Fehler. Vertauschst du beide, bekommst du eine völlig andere Schwelle: F(0,05; 27; 2) ist rund 19,46 und nicht 3,354.

Bleibt df₂ bei null oder darunter, weil N nicht größer als k ist, meldet der Rechner einen Fehler, denn dann gibt es keine Streuung innerhalb der Gruppen, aus der sich ein F-Wert bilden ließe.

Eine lineare Regression mit Achsenabschnitt hat df = n − p − 1 Freiheitsgrade, wobei p die Zahl der Prädiktoren ist.

Bei n = 30 Beobachtungen und 2 Prädiktoren sind es 27, der kritische t-Wert für den Test eines Koeffizienten beträgt 2,052 bei α = 5 % zweiseitig.

Jeder Prädiktor und der Achsenabschnitt kosten je einen Freiheitsgrad, weil sie aus den Daten geschätzt werden; übrig bleiben die Beobachtungen, die noch frei um die Regressionsfläche streuen.

Eine einfache Regression mit n = 5 und p = 1 hat nur 3 Freiheitsgrade und verlangt t = 3,182, was zeigt, wie unsicher sehr kleine Stichproben sind. Mit jedem weiteren Prädiktor sinkt df um 1 und die Schwelle steigt.

Mit n = 3 und p = 2 bleibt df = 0, und der Rechner meldet das, statt eine Schwelle zu erfinden. Die Zahl der Prädiktoren trägst du ohne den Achsenabschnitt ein.

Mit wenigen Freiheitsgraden schätzt du die Streuung aus wenigen Werten und weißt deshalb weniger sicher, wie weit ein Mittelwert allein vom Zufall abweichen kann. Die t-Verteilung hat dann dickere Ränder, und die Schwelle muss höher liegen.

Bei α = 5 % zweiseitig sind es 12,706 bei df = 1, 4,303 bei df = 2, 2,571 bei df = 5, 2,228 bei df = 10, 2,042 bei df = 30 und 1,980 bei df = 120. Für sehr große df nähert sich die Schwelle dem Wert der Normalverteilung, 1,960.

Ab etwa df = 30 ändert sich nur noch die zweite Nachkommastelle, deshalb enden viele gedruckte Tabellen bei 30, 40, 60 und 120. Einseitig liegt die Schwelle tiefer: Bei df = 10 sind es 1,812 statt 2,228.

Die Tabelle unter dem Ergebnis des Rechners zeigt alle Zeilen für α = 0,10, 0,05 und 0,01, berechnet mit derselben Funktion wie der Rechner selbst.

Die Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert summieren sich immer zu null. Kennst du n − 1 Abweichungen, steht die letzte fest, und nur n − 1 Abweichungen sind frei.

Deshalb teilt man die Quadratsumme durch n − 1 und nicht durch n, und deshalb hat die Stichprobenvarianz n − 1 Freiheitsgrade. Bei 10 Messwerten sind das 9.

Der Wert (n − 1) · s² ÷ σ² folgt dann einer χ²-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden, und die 95-%-Grenzen sind 2,700 und 19,023.

Daraus ergibt sich das Konfidenzintervall der Varianz: von (n − 1) · s² ÷ 19,023 bis (n − 1) · s² ÷ 2,700, also vom 0,47-Fachen bis zum 3,33-Fachen von s².

Bei wenigen Messwerten ist dieses Intervall sehr breit, mit n = 10 beträgt die obere Grenze mehr als das Dreifache der unteren. Der Modus Stichprobenvarianz im Rechner nennt beide Grenzen für das gewählte α und zeigt den Rechenweg.

Dann gibt es keinen kritischen Wert, weil die Verteilung nicht definiert ist, und der Rechner meldet einen Fehler statt einer Zahl.

Das geschieht in vier typischen Fällen: bei n = 1, weil sich aus einem Wert keine Streuung schätzen lässt (df = 0); beim χ²-Anpassungstest mit 3 Kategorien und 2 geschätzten Parametern (df = 0); bei einer Regression mit n = 3 und 2 Prädiktoren (df = 0) und bei einer ANOVA mit N = 3 Beobachtungen in 3 Gruppen (df₂ = 0).

Die Lösung ist immer dieselbe: mehr Daten erheben, weniger Parameter schätzen oder Kategorien und Gruppen zusammenlegen. Rechne nie mit df = 0 weiter, denn jede Schwelle wäre erfunden.

Auch bei Nachkommastellen im Umfang oder bei n über einer Million bricht der Rechner ab und nennt den Grund, damit kein stilles Runden das Ergebnis verfälscht.