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Benfordsches Gesetz prüfen: Zahlenliste, χ²-Test, MAD

MathematikStand Noch keine Bewertung
Welche Ziffern sollen geprüft werden?
Signifikanzniveau α
Werte unter 10 ignorieren
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Kurzantwort

Das Benfordsche Gesetz sagt, dass in vielen natürlichen Zahlenreihen kleine Anfangsziffern häufiger sind: die 1 etwa dreimal so oft wie die 9. Ein Abgleich eigener Zahlen damit ist ein Indiz zum Nachprüfen, kein Beweis für Fehler oder Betrug.

Benfordsches Gesetz prüfen: Zahlenliste einfügen

Kilian AchatzFachredaktion Mathematik
Geprüft: Review-Team Rechner-Portal (Okt. 2026)Stand:

Überblick

Was prüft der Benford-Rechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Das Benfordsche Gesetz beschreibt, wie oft die Ziffern 1 bis 9 am Anfang von Zahlen stehen, wenn diese Zahlen viele Größenordnungen überspannen: Die 1 steht bei 30,1 % aller Zahlen vorn, die 2 bei 17,6 %, die 9 nur bei 4,6 %, nach der Formel P(d) = log₁₀(1 + 1/d). Der Benford-Rechner vergleicht die führenden Ziffern deiner eigenen Zahlenliste mit dieser Sollverteilung und zeigt Anzahl, Ist- und Sollanteil, den χ²-Test, die mittlere absolute Abweichung (MAD) und ein Urteil.

Mit den 150 vorbelegten Beträgen ergibt sich χ² = 6,72 bei df = 8 (kritisch 15,507, p = 0,5667): Die Ziffern widersprechen Benford nicht. Simon Newcomb schlug das Gesetz früh vor, der Physiker Frank Benford prüfte es 1938 an vielen Datensätzen.

Nützlich ist das, weil Rechnungsbeträge, Einwohnerzahlen oder Börsenwerte der Verteilung oft nahe kommen, frei erfundene oder gehäuft knapp unter einer Grenze liegende Beträge dagegen nicht.

Bei 150 Beträgen, von denen 70 knapp unter 100 liegen, sind es χ² = 669,14, weil die 9 fast jede zweite erste Ziffer stellt.

Eine Abweichung ist aber nur ein Indiz zum Nachprüfen und kein Beweis für Betrug, denn auch Preise mit Schwellen oder kleiner Streuung weichen ab.

Der Rechner richtet sich an Prüfende, Controlling, Studierende und alle mit einer Zahlenspalte aus Excel. Er prüft die erste Ziffer, die zweite Ziffer oder die ersten zwei Ziffern.

Eingaben

Zahlenliste, Ziffern, Signifikanzniveau und kleine Werte einstellen

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Füge die Zahlenliste ein, getrennt durch Semikolon, Leerzeichen oder Zeilenumbruch; Dezimalkomma ist erlaubt, und eine Spalte aus Excel lässt sich direkt einkopieren. Vorzeichen werden ignoriert, Nullen verworfen, und ein Punkt gilt nicht als Tausendertrenner: „1.234,56“ muss als „1234,56“ eingegeben werden.

Es sind bis zu 20.000 Werte möglich.

Wähle, welche Ziffern geprüft werden: die erste Ziffer (9 Kategorien) ist die übliche Prüfung und braucht mindestens rund 110 Werte, die zweite Ziffer (10 Kategorien) weicht nur wenig von der Gleichverteilung ab und braucht mehr, die ersten zwei Ziffern (90 Kategorien) brauchen mehrere Tausend Werte.

Das Signifikanzniveau α (5 oder 1 %) legt die Schwelle des χ²-Tests fest. Mit „Werte unter 10 ignorieren“ lässt du kleine Beträge weg, die oft Preisgrenzen folgen; bei ganzen Zahlenreihen wie den Fibonacci-Zahlen kann Nein sinnvoll sein.

Eine leere Liste, Text in den Daten oder zu wenige gültige Werte beantwortet der Rechner mit einem Hinweis statt mit einer Zahl.

Praxisfälle

Benfordsches Gesetz nach Fall prüfen: Beträge, Belege, Zahlenreihen

Sieben typische Suchfragen zum Benfordschen Gesetz, jede mit den Eingaben und dem nachgerechneten Ergebnis aus dem Rechner oben.

  1. Sollverteilung der ersten Ziffer

    „Wie häufig ist die Ziffer 1 nach dem Benfordschen Gesetz?“

    Eingabe
    Erste Ziffer, Formel P(d) = log₁₀(1 + 1/d)
    Ergebnis
    1: 30,10 % | 2: 17,61 % | 3: 12,49 % | 9: 4,58 %

  2. 150 Beträge auf Benford prüfen

    „Passen 150 Rechnungsbeträge zum Benfordschen Gesetz?“

    Eingabe
    150 Beträge von 10 bis rund 20.000, erste Ziffer, α 5 %
    Ergebnis
    χ² = 6,72 | df = 8 | kritisch 15,507 | p = 0,5667

  3. Spesenbelege knapp unter 100 Euro

    „Wie sieht eine Häufung knapp unter der Grenze im Benford-Test aus?“

    Eingabe
    150 Belege, davon 70 zwischen 90 und 99,99, erste Ziffer
    Ergebnis
    χ² = 669,14 | Ziffer 9: 48,67 % statt 4,58 %

  4. Gleichverteilte Zahlen

    „Folgen gleichverteilte Zahlen von 1.000 bis 9.999 dem Benfordschen Gesetz?“

    Eingabe
    150 Zahlen von 1.000 bis 9.999, erste Ziffer
    Ergebnis
    χ² = 57,29 | p < 0,0001 | Ziffer 8: 16,67 % statt 5,12 %

  5. Fibonacci-Zahlen

    „Folgen die Fibonacci-Zahlen dem Benfordschen Gesetz?“

    Eingabe
    Fibonacci-Zahlen bis 591.286.729.879, Werte unter 10 ignoriert
    Ergebnis
    N = 52 | χ² = 0,72 | p = 0,9995

  6. Zweite Ziffer prüfen

    „Wie prüfe ich die zweite Ziffer nach Benford?“

    Eingabe
    150 Beträge, zweite Ziffer, α 5 %
    Ergebnis
    χ² = 17,09 | df = 9 | kritisch 16,919 | p = 0,0474

  7. Erwartete MAD bei kleinem N

    „Wie groß ist die MAD bei 150 Werten selbst bei idealen Daten?“

    Eingabe
    150 Beträge, erste Ziffer
    Ergebnis
    MAD = 0,0196 | erwartet bei idealen Daten 0,0192 | Stufen erst ab etwa 1.600 Werten

Berechnung

Benfordsches Gesetz Formel: P(d) = log₁₀(1 + 1/d), χ² und MAD

Verstehe den Formelweg.

Die Sollanteile der ersten Ziffer folgen P(d) = log₁₀(1 + 1/d): 30,10 % für die 1, 17,61 % für die 2, 12,49 % für die 3 und 4,58 % für die 9. Für die zweite Ziffer gilt P(d) = Σ log₁₀(1 + 1/(10k + d)) über k = 1 bis 9, von 11,97 % für die 0 bis 8,50 % für die 9; für die ersten zwei Ziffern gilt log₁₀(1 + 1/dd) mit dd = 10 bis 99.

Der Istanteil ist Anzahl ÷ N. Der χ²-Test bildet χ² = Σ (Ist − Soll · N)² ÷ (Soll · N) mit df = Kategorien − 1, also 8, 9 oder 89. Erste Ziffer der 150 vorbelegten Beträge gegen die Sollverteilung: 1 mit 36,00 gegen 30,10 %, 3 mit 7,33 gegen 12,49 %, 9 mit 3,33 gegen 4,58 %; χ² = 6,72 bei df = 8 Die MAD ist der Mittelwert der Beträge der Abweichungen: MAD = Σ|Ist − Soll| ÷ Kategorien.

Für die erste Ziffer ordnet Nigrini sie ein: unter 0,006 enge Übereinstimmung, bis 0,012 akzeptabel, bis 0,015 grenzwertig, darüber keine Übereinstimmung.

Die 150 Beträge kommen auf MAD = 0,0196, doch das ist kein schlechtes Zeichen, wie der nächste Abschnitt zeigt.

Formelgrafik: Benford-Sollanteil als Zehnerlogarithmus von eins plus eins durch d, erwartete Anzahl, χ²-Prüfgröße und mittlere absolute Abweichung
Bei 150 Werten erwartet Benford für die 1 etwa 45 und für die 9 etwa 7 Treffer; die vorbelegten Beträge ergeben χ² = 6,72 bei df = 8 und MAD = 0,0196.

Nachschlagen

Sollverteilung nach Benford: erste und zweite Ziffer

Die erste Ziffer fällt von 30,10 % für die 1 auf 4,58 % für die 9, die zweite Ziffer ist dagegen fast gleichverteilt. Die Werte stammen aus derselben Funktion wie der Rechner oben.

Sollanteile der Ziffern 0 bis 9 an erster und zweiter Stelle nach P(d) = log₁₀(1 + 1/d) bzw. der Summenformel für die zweite Ziffer
Ziffer dAnteil an erster Stelle (%)Anteil an zweiter Stelle (%)
0–11,97
130,1011,39
217,6110,88
312,4910,43
49,6910,03
57,929,67
66,699,34
75,809,04
85,128,76
94,588,50

Annahmen: Dezimalsystem, Zahlen über viele Größenordnungen verteilt; an erster Stelle gibt es keine 0. Stand: 11.10.2026.

Erwartete MAD bei exakt Benford-verteilten Daten nach Listengröße

Auch eine perfekte Zufallsstichprobe weicht durch Zufall von der Sollverteilung ab; die MAD sinkt erst mit wachsender Listengröße unter die Stufen von Nigrini (0,006 eng, 0,012 akzeptabel, 0,015 grenzwertig). Die Werte stammen aus derselben Funktion wie der Rechner oben.

Erwartete mittlere absolute Abweichung der ersten Ziffer bei idealen Daten für Listen von 100 bis 10.000 Werten, mit erwarteter Anzahl der seltensten Ziffer
Zahl der Werte NErwartete MADErwartete Anzahl der Ziffer 9Stufe der MAD für ideale Daten
1000,02354,6nicht konform
1500,01926,9nicht konform
2500,014911,4grenzwertig
5000,010522,9akzeptabel
1.0000,007445,8akzeptabel
1.5340,006070,2enge Übereinstimmung
2.0000,005391,5enge Übereinstimmung
5.0000,0033228,8enge Übereinstimmung
10.0000,0023457,6enge Übereinstimmung

Annahmen: Normalnäherung der Ziffernanteile, E|Anteil − Soll| ≈ √(2 · p · (1 − p) ÷ (π · N)), gemittelt über die neun Ziffern; im Test per Zufallsziehung bestätigt. Stand: 11.10.2026.

Kritische χ²-Werte für den Benford-Test

Der χ²-Test lehnt Benford ab, wenn die Prüfgröße den kritischen Wert zur Kategorienzahl übersteigt. Die Werte stammen aus derselben Funktion wie der Rechner oben.

Obere kritische Werte der χ²-Verteilung für die drei Ziffernanalysen bei α = 5 % und α = 1 %
AnalyseFreiheitsgrade dfα = 0,05α = 0,01
Erste Ziffer (9 Kategorien)815,50720,090
Zweite Ziffer (10 Kategorien)916,91921,666
Erste zwei Ziffern (90 Kategorien)89112,022122,942

Annahmen: df = Kategorien − 1, erwartete Anzahl je Ziffer mindestens 5. Stand: 11.10.2026.

Expertenmodus

Häufige Fragen zum Benfordschen Gesetz

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Was besagt das Benfordsche Gesetz?

Das Benfordsche Gesetz sagt, dass in vielen Zahlenreihen kleine Anfangsziffern häufiger vorkommen als große.

Die erste Ziffer d steht mit der Wahrscheinlichkeit P(d) = log₁₀(1 + 1/d) vorn: Die 1 bei 30,10 %, die 2 bei 17,61 %, die 3 bei 12,49 %, bis zur 9 bei nur 4,58 %.

Der Grund liegt in der logarithmischen Skala: Zwischen 1 und 2 liegt auf ihr mehr Platz als zwischen 8 und 9, und Zahlen wachsen oft prozentual statt um feste Beträge.

Das Gesetz gilt für Daten, die viele Größenordnungen überspannen, etwa Rechnungsbeträge, Einwohnerzahlen oder Flussgrößen; Frank Benford prüfte es 1938 an zahlreichen Datensätzen.

Es ist eine Regel für große Mengen, kein Naturgesetz für jede einzelne Zahl.

Der Rechner nutzt dieselbe Formel auch für die zweite Ziffer (11,97 % für die 0 bis 8,50 % für die 9) und für die ersten zwei Ziffern von 10 bis 99, und vergleicht deine Liste mit diesen Sollwerten.

Wie wende ich das Benfordsche Gesetz auf meine Zahlen an?

Du zählst, wie oft jede erste Ziffer vorkommt, teilst durch die Zahl der Werte und vergleichst mit den Sollanteilen.

Der Rechner nimmt dir das ab: Du fügst die Liste ein, getrennt durch Semikolon, Leerzeichen oder Zeilenumbruch, wählst die Ziffern und das Signifikanzniveau und erhältst Anzahl, Ist- und Sollanteil je Ziffer, den χ²-Test, die MAD und einen Hinweis.

Bei den 150 vorbelegten Beträgen ist χ² = 6,72 bei df = 8 und damit kleiner als der kritische Wert 15,507; die Beträge passen zu Benford. Nullen werden verworfen, auf Wunsch auch Werte unter 10, weil kleine Beträge oft Preisgrenzen folgen.

Gib Zahlen mit Dezimalkomma und ohne Tausenderpunkt ein: „1.234,56“ lehnt der Rechner als mehrdeutig ab.

Die Liste sollte mindestens rund 110 Werte enthalten und nicht durch Höchst- oder Mindestwerte begrenzt sein, sonst ist der Vergleich nicht aussagekräftig.

Wie viele Zahlen braucht der Benford-Test?

Für die erste Ziffer mindestens rund 110 Werte: Dann liegt die erwartete Anzahl der seltensten Ziffer, der 9 mit 4,58 %, bei mindestens 5, und erst dann ist der χ²-Test verlässlich. Mit weniger Werten warnt der Rechner ausdrücklich.

Die Fibonacci-Zahlen ab 10 sind mit 52 Werten ein schönes Lehrbeispiel (χ² = 0,72, p = 0,9995), aber für eine Prüfung zu wenig.

Bei der zweiten Ziffer sind es mindestens etwa 60 Werte (8,50 % von 60 ergeben knapp 5), für eine Aussage deutlich mehr; bei den ersten zwei Ziffern mit 90 Kategorien mindestens rund 1.150 und sinnvoll mehrere Tausend, weil jede Kategorie nur 0,4 bis 4 % der Werte erhält.

Für ein Urteil nach der MAD reichen auch 110 Werte nicht, denn schon ideale Benford-Daten haben bei N = 150 im Mittel eine MAD von 0,0192; die Stufen tragen erst ab etwa 1.600 Werten, wo die ideale MAD bei 0,0060 liegt.

Je mehr Werte, desto besser; der Rechner nimmt bis zu 20.000 Werte.

Was sagt die MAD beim Benford-Test aus?

Die mittlere absolute Abweichung ist der Durchschnitt der Beträge aller Unterschiede zwischen Ist- und Sollanteil: MAD = Σ|Ist − Soll| ÷ Zahl der Ziffern.

Anders als χ² wächst sie nicht mit der Listengröße, sondern misst die durchschnittliche Abweichung der Anteile.

Nigrini ordnet sie für die erste Ziffer ein: unter 0,006 enge Übereinstimmung, bis 0,012 akzeptabel, bis 0,015 grenzwertig, darüber keine Übereinstimmung.

Die Stufen gelten aber nur für große Listen, denn auch ein perfekter Zufallsdatensatz hat Abweichungen: Bei N = 150 liegt die MAD im Mittel bei 0,0192, bei N = 1.000 bei 0,0074 und bei N = 5.000 bei 0,0033.

Der Rechner zeigt deshalb neben der MAD den Erwartungswert für dein N und vergibt ein Urteil erst, wenn die ideale MAD unter 0,006 liegt, etwa ab 1.600 Werten.

Für die zweite Ziffer und die ersten zwei Ziffern nennt der Rechner kein Urteil, weil deren Grenzen nicht belegt sind.

Beweist eine Abweichung vom Benfordschen Gesetz Betrug?

Nein, sie ist ein Indiz zum Nachprüfen. Wenn 70 von 150 Spesenbelegen knapp unter 100 Euro liegen, steht die 9 bei 48,67 % statt bei 4,58 %, und χ² steigt auf 669,14; das fällt auf.

Es kann aber auch eine Genehmigungsgrenze bei 100 Euro das Muster erzeugen, ohne dass jemand betrügt: Wer knapp darunter bleibt, folgt der Regel.

Umgekehrt beweist eine gute Übereinstimmung nichts, denn geschickte Fälschungen können die Verteilung treffen. Abweichungen entstehen auch bei Daten mit kleiner Streuung, bei gerundeten Preisen wie 9,99 oder bei Nummern mit festem Format.

Gehe deshalb so vor: Rechner als Auswahlwerkzeug nutzen, die auffälligen Ziffern oder Gruppen anschauen, Belege prüfen und die Erklärung außerhalb der Statistik suchen. Eine Rechtsfolge ergibt sich allein aus dem Ergebnis nicht.

Der Rechner nennt das im Hinweis jedes Mal und liefert nur Anzahl, Anteil und Abweichung je Ziffer.

Welche Daten folgen dem Benfordschen Gesetz nicht?

Daten, die nicht viele Größenordnungen überspannen oder durch eine Regel begrenzt sind.

150 gleichverteilte Zahlen von 1.000 bis 9.999 haben χ² = 57,29 und p unter 0,0001, weil dort jede erste Ziffer gleich oft vorkommt: Die 8 steht bei 16,67 % statt 5,12 %.

Ebenso weichen Körpergrößen (immer 1,5 bis 2 Meter), Telefonnummern, Postleitzahlen, Hausnummern und Zahlen mit Höchstgrenze ab. Preise knapp unter Schwellen wie 9,99 verschieben die Ziffern ebenfalls, und Hausnummern bleiben meist klein.

Auch Beträge mit festem Preis, etwa jede Position genau 49,90 Euro, ergeben nur eine einzige Ziffer. Zahlenreihen mit exponentiellem Wachstum folgen dagegen genau: Die Fibonacci-Zahlen bis 591.286.729.879 ergeben χ² = 0,72.

Wenn dein Datensatz nicht passt, ist das Ergebnis kein Befund, sondern ein Hinweis auf die Datenart.

Prüfe vor jeder Analyse, ob die Zahlen über mehrere Größenordnungen streuen; der Rechner zeigt dir in der Tabelle sofort, welche Ziffern über- oder unterrepräsentiert sind.

Wann prüfe ich die zweite Ziffer?

Die zweite Ziffer weicht weniger von der Gleichverteilung ab als die erste: Nach Benford steht die 0 mit 11,97 %, die 1 mit 11,39 % und die 9 mit 8,50 % an zweiter Stelle, nahezu gleichmäßig.

Die Prüfung kann deshalb auffallen, wenn Zahlen gerundet sind und die 0 oder die 5 an zweiter Stelle zu oft vorkommt; sie ist ein Zusatz zur Prüfung der ersten Ziffer.

Sie braucht mehr Daten, denn die Unterschiede sind klein: Die 150 vorbelegten Beträge ergeben bei der zweiten Ziffer χ² = 17,09 gegen den kritischen Wert 16,919 und p = 0,0474, ein knapper Ausschlag, den man bei so wenigen Werten nicht überbewerten darf.

Bei α = 5 % lehnt selbst ein idealer Datensatz jeden zwanzigsten Test zufällig ab. Wenn du die erste und die zweite Ziffer prüfst, rechne also mit solchen Zufallstreffern. Die ersten zwei Ziffern prüfst du erst ab mehreren Tausend Werten.

Warum lehnt der Test bei großen Listen fast immer ab?

Weil die Prüfgröße mit der Listengröße wächst. χ² = Σ (Ist − Soll · N)² ÷ (Soll · N) verzehnfacht sich ungefähr, wenn dieselbe Abweichung der Anteile bei zehnmal so vielen Werten auftritt.

Bei 100.000 Zahlen reicht deshalb eine kleine, praktisch bedeutungslose Abweichung, um den kritischen Wert 15,507 zu überschreiten; echte Daten sind nie perfekt Benford-verteilt.

Bei kleinen Listen ist es umgekehrt: Der Test hat wenig Teststärke und übersieht Abweichungen. Für große Listen eignet sich deshalb die MAD besser, die nicht mit der Größe wächst, mit den Nigrini-Stufen 0,006, 0,012 und 0,015 für die erste Ziffer.

Lies bei großen Listen auch die Tabelle: Entscheidend ist, welche Ziffer wie stark abweicht, nicht allein das Signifikanzurteil. Eine Abweichung von zwei Prozentpunkten bei der 1 ist etwas anderes als eine von 0,2.

Der Rechner zeigt Anzahl, Anteil, Soll und Abweichung in Prozentpunkten je Ziffer an, dazu die MAD.

Hinweise

Ergebnis lesen: χ², p-Wert, Tabelle und die Grenzen der MAD

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Lies zuerst χ² gegen den kritischen Wert und den p-Wert, danach die Tabelle. Bei den vorbelegten Beträgen liegt χ² = 6,72 unter 15,507, die Anteile weichen nur zufällig ab; in der Tabelle stehen die 1 mit 36,00 % gegen 30,10 % und die 3 mit 7,33 % gegen 12,49 % am weitesten auseinander.

Der Test lehnt Benford ab, wenn χ² den kritischen Wert übersteigt; bei α = 1 % liegt die Schwelle höher, bei 20,090. Erwartete MAD bei Benford-Daten nach Zahl der Werte N: 0,0192 bei 150, 0,0150 bei 245, 0,0120 bei 383, 0,0074 bei 1.000, 0,0060 bei 1.534; 0,015, 0,012 und 0,006 unterschreiten nur große Listen Die MAD braucht Vorsicht bei kleinen Listen: Schon exakt Benford-verteilte Daten erreichen bei N = 150 im Mittel eine MAD von 0,0192, also mehr als die Grenze 0,015.

Der Rechner zeigt deshalb neben der MAD den Erwartungswert für dein N und vergibt ein Urteil erst, wenn die ideale MAD unter 0,006 liegt, das ist ab etwa 1.600 Werten der Fall. Davor entscheidet der χ²-Test.

Bei sehr großen Listen kippt es umgekehrt: Der χ²-Test lehnt schon kleine Abweichungen ab, dann hilft die MAD. Eine Teilliste je Kostenstelle ist aussagekräftiger als eine Gesamtliste, wenn sie groß genug ist.

Anwendung

Praxisbeispiel: 150 Spesenbelege auf Auffälligkeiten prüfen

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Ein Controlling prüft 150 Spesenbelege einer Abteilung auf Auffälligkeiten. Für die Genehmigung gilt eine Grenze von 100 Euro. Im Rechner fügt es die Beträge ein, wählt die erste Ziffer, α = 5 % und lässt Werte unter 10 weg.

Ergebnis: N = 150, χ² = 669,14 bei df = 8, kritischer Wert 15,507, p unter 0,0001.

In der Tabelle fällt die 9 auf: 73 von 150 Belegen (48,67 %) beginnen mit 9 statt 4,58 % nach Benford, die 1 dagegen nur 26 Belege (17,33 % statt 30,10 %). 150 Spesenbelege, davon 70 knapp unter 100: Die Ziffer 9 steht bei 48,67 % statt 4,58 %, χ² = 669,14 bei df = 8 Die Entscheidung: Das Controlling prüft die Belege der 9er-Gruppe stichprobenartig nach, besonders die zwischen 90 und 99,99 Euro, und fragt, ob Beträge unter die Genehmigungsgrenze geschoben wurden.

Ein Beweis ist das Ergebnis nicht: Wer knapp unter 100 Euro einkauft, weil die Grenze es nahelegt, erzeugt dasselbe Muster, ohne zu betrügen. Der Rechner liefert den Anlass zum Hinsehen, die Bewertung folgt aus den Belegen.

Ergänzend lohnt ein Blick auf die zweite Ziffer und auf die Belege je Kostenstelle; die Liste lässt sich aufteilen und erneut prüfen, solange jede Teilliste mindestens 110 Werte enthält.

Fallstricke

Häufige Fehler beim Benford-Test: zu wenig Werte, MAD, Betrugsschluss

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Der erste Fehler: zu wenige Werte zu prüfen. Mit 52 Werten (die Fibonacci-Zahlen über 10) liefert die erste Ziffer χ² = 0,72, der Test hat aber kaum Teststärke; erst ab rund 110 Werten liegt die erwartete Anzahl der seltensten Ziffer bei mindestens 5.

Der zweite Fehler: die MAD-Stufen bei kleinem N zu lesen. Bei 150 Werten liegt schon die ideale MAD bei 0,0192; ein „nicht konform“ nach Nigrini wäre dort immer falscher Alarm. Der dritte Fehler: eine Abweichung für Betrug zu halten.

Die 70 Beträge knapp unter 100 sind verdächtig, erklären sich aber vielleicht durch eine Genehmigungsgrenze bei 100. Der vierte Fehler: Zahlen zu prüfen, die nicht passen.

150 gleichverteilte Zahlen von 1.000 bis 9.999 haben χ² = 57,29 und p unter 0,0001, weil dort jede erste Ziffer gleich häufig ist; das ist kein Hinweis auf Manipulation, sondern auf die Datenart.

Der fünfte Fehler: einem einzelnen Test zu viel zu glauben.

Die zweite Ziffer der vorbelegten Beträge ergibt χ² = 17,09 gegen 16,919 und p = 0,0474: ein knapper Ausschlag, den man bei 150 Werten nicht überbewerten darf, denn bei α = 5 % lehnt selbst ein idealer Datensatz jeden zwanzigsten Test zufällig ab.

Nächster Schritt

Benfordsches Gesetz prüfen: das Wichtigste in Kürze

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Benford-Rechner vergleicht die führenden Ziffern einer Zahlenliste mit dem Benfordschen Gesetz und liefert Ist- und Sollanteile, χ²-Test, MAD und Hinweise. Die vorbelegten 150 Beträge ergeben χ² = 6,72 bei df = 8 und passen zu Benford.

Merke dir drei Punkte: Eine Abweichung ist ein Indiz zum Nachprüfen und kein Beweis, die erste Ziffer braucht mindestens rund 110 Werte, und die MAD-Urteilsstufen tragen erst ab etwa 1.600 Werten.

Grundlage sind Benford (1938) und die Wikipedia-Fachartikel, am 11.10.2026 gelesen; die MAD-Stufen nach Nigrini (2012) stammen aus mehreren Fachseiten, das Buch wurde nicht abgerufen.

Grenzen: nur Ziffernanalyse einer Liste, kein Urteil zu zweiter Ziffer und ersten zwei Ziffern. Als Nächstes prüfst du mit dem Freiheitsgrade-Rechner den kritischen Wert zu einer anderen Kategorienzahl.

Das Ergebnis ist eine Entscheidungshilfe für die weitere Prüfung und kein Urteil über die Zahlen.

Vertiefung

Rechenbeispiele: Beträge, Spesenbelege, gleichverteilte Zahlen und Fibonacci

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · N = 150, χ² = 669,14, p unter 0,0001, MAD = 0,0980; die 9 steht bei 48,67 % statt 4,58 %

150 Spesenbelege, 70 davon knapp unter 100 Euro

Welche Ziffern sollen geprüft werden?
Erste Ziffer (1 bis 9)
Zahlenliste
150 Belege (92,38; 97,31; 92,43; 98,52; 97,16; 93,60; … sowie 80 Beträge von 10 bis 1.000)
Signifikanzniveau α
5 % (α = 0,05)
Werte unter 10 ignorieren
Ja, Werte mit Betrag unter 10 weglassen

Beispiel 2 · Mittel · N = 150, χ² = 57,29, p unter 0,0001, MAD = 0,0479; die 8 steht bei 16,67 % statt 5,12 %

150 gleichverteilte Zahlen von 1.000 bis 9.999

Welche Ziffern sollen geprüft werden?
Erste Ziffer (1 bis 9)
Zahlenliste
150 Zahlen (3155; 1854; 9836; 1009; 4440; 4160; …)
Signifikanzniveau α
5 % (α = 0,05)
Werte unter 10 ignorieren
Ja, Werte mit Betrag unter 10 weglassen

Beispiel 3 · Komplex · N = 52 (6 Werte unter 10 verworfen), χ² = 0,72, p = 0,9995, MAD = 0,0110

Fibonacci-Zahlen bis 591.286.729.879

Welche Ziffern sollen geprüft werden?
Erste Ziffer (1 bis 9)
Zahlenliste
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; … 591286729879 (58 Zahlen)
Signifikanzniveau α
5 % (α = 0,05)
Werte unter 10 ignorieren
Ja, Werte mit Betrag unter 10 weglassen

Beispiel 4 · Komplex · N = 150, χ² = 17,09 bei df = 9 (kritisch 16,919, p = 0,0474), MAD = 0,0255

Zweite Ziffer der 150 vorbelegten Beträge

Welche Ziffern sollen geprüft werden?
Zweite Ziffer (0 bis 9)
Zahlenliste
150 Beträge von 10 bis rund 20.000 (68,04; 19,53; 803,58; 54,25; …)
Signifikanzniveau α
5 % (α = 0,05)
Werte unter 10 ignorieren
Ja, Werte mit Betrag unter 10 weglassen

Weiterführende Rechner und Themen

Alle Anschlussrechner und Vertiefungen in einem klaren Modul, damit du direkt zur nächsten sinnvollen Berechnung springen kannst.

Varianz-RechnerVarianz und Standardabweichung einer Datenmenge berechnen – Stichprobenvarianz und Grundgesamtheit.WahrscheinlichkeitsrechnerEinfache Wahrscheinlichkeiten berechnen, Gegenereignis, bedingte Wahrscheinlichkeit und Laplace-Experiment.PerzentilrechnerBeliebiges Perzentil sowie Quartile Q1, Median und Q3, Interquartilsabstand, Minimum und Maximum aus einer Zahlenliste berechnen.Binomialverteilung-RechnerBinomialverteilung berechnen: P(X=k), P(X<=k), P(X>=k) fuer Bernoulli-Ketten mit Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.Z-Wert-RechnerZ-Score z = (x−μ)/σ und Percentilrang der Standardnormalverteilung berechnen.Stichprobengröße-RechnerStichprobengröße berechnen für Umfragen (Anteil), Mittelwerte und den Vergleich zweier Gruppen (Poweranalyse) – mit Endlichkeitskorrektur, Rücklaufquote, Rechenweg und Tabelle nach Fehlermarge und Konfidenzniveau.Kombinatorik-RechnerPermutationen, Kombinationen und Variationen mit und ohne Wiederholung berechnen, Binomialkoeffizient.Zufallszahlen-GeneratorZufallszahlen in einem frei wählbaren Bereich erzeugen – mit oder ohne Wiederholung und optional aufsteigend sortiert, etwa für Lottozahlen, Losentscheide und Stichproben.Erwartungswert-RechnerErwartungswert E(X), Varianz Var(X) und Standardabweichung σ einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung aus einer Wertetabelle berechnen.Spannweite-RechnerSpannweite R = Maximum − Minimum aus einer Zahlenliste berechnen – mit Median, Mittelwert, Minimum, Maximum und sortierter Werteliste.Tschebyscheff-RechnerTschebyscheff-Ungleichung berechnen: Obergrenze für Abweichungen vom Erwartungswert, Mindestanteil im Intervall, k-Sigma-Form, ε-Form, Intervall und Binomialverteilung mit Vergleich zu Normalverteilung und exakter Wahrscheinlichkeit.AQL-TabelleAQL-Stichprobenplan nach ISO 2859-1 berechnen: Losgröße und Prüfniveau eingeben, Kennbuchstabe, Stichprobenumfang, Annahmezahl und Rückweisezahl für Normal-, verschärfte und reduzierte Prüfung ermitteln.Konfidenzintervall-RechnerKonfidenzintervall berechnen für Mittelwert (t- oder z-Intervall, auch aus Rohdaten) und Anteil (Wilson und Wald) bei 80 bis 99,9 % Niveau – mit Rechenweg und benötigter Stichprobengröße.t-Test-Rechnert-Test berechnen: Einstichproben-, gepaarter und Zweistichproben-Test (Welch oder gleiche Varianzen) aus Kennzahlen oder Rohdaten – mit p-Wert, kritischem t-Wert, Entscheidung und t-Tabelle.Gini-Koeffizient-RechnerGini-Koeffizient berechnen aus einer Werteliste oder aus klassierten Daten: Gini, normierter Gini, Gini-Index, Anteil der obersten 10 und 20 Prozent und Lorenzkurven-Tabelle mit Rechenweg.

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  • Erste Ziffer der 150 vorbelegten Beträge gegen die Sollverteilung: 1 mit 36,00 gegen 30,10 Prozent, 3 mit 7,33 gegen 12,49 Prozent, 9 mit 3,33 gegen 4,58 Prozent; χ² = 6,72 bei df = 8.

    150 Beträge: erste Ziffer gegen die Benford-Verteilung, χ² = 6,72 bei df = 8

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       alt="Erste Ziffer der 150 vorbelegten Beträge gegen die Sollverteilung: 1 mit 36,00 gegen 30,10 Prozent, 3 mit 7,33 gegen 12,49 Prozent, 9 mit 3,33 gegen 4,58 Prozent; χ² = 6,72 bei df = 8."
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<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner">150 Beträge: erste Ziffer gegen die Benford-Verteilung, χ² = 6,72 bei df = 8 auf Rechner-Portal</a></p>

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  • Erwartete MAD bei exakt Benford-verteilten Daten: 0,0192 bei N = 150, 0,0060 bei N = 1534; die Stufen 0,006, 0,012 und 0,015 liegen erst bei großen Listen darunter.

    Erwartete MAD bei idealen Daten: 0,0192 bei N = 150, 0,0060 bei N = 1534

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       alt="Erwartete MAD bei exakt Benford-verteilten Daten: 0,0192 bei N = 150, 0,0060 bei N = 1534; die Stufen 0,006, 0,012 und 0,015 liegen erst bei großen Listen darunter."
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<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner">Erwartete MAD bei idealen Daten: 0,0192 bei N = 150, 0,0060 bei N = 1534 auf Rechner-Portal</a></p>

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    Quelle: Rechner-Portal (rechner-portal.de) — https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner
  • 150 Spesenbelege, davon 70 knapp unter 100 Euro: Die Ziffer 9 steht bei 48,67 Prozent statt 4,58 Prozent, die 1 bei 17,33 statt 30,10 Prozent; χ² = 669,14 bei df = 8.

    150 Spesenbelege, 70 knapp unter 100 Euro: Ziffer 9 bei 48,67 % statt 4,58 %, χ² = 669,14

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  <img src="https://rechner-portal.de/images/mathematik/benford-rechner-auffaellig.svg"
       alt="150 Spesenbelege, davon 70 knapp unter 100 Euro: Die Ziffer 9 steht bei 48,67 Prozent statt 4,58 Prozent, die 1 bei 17,33 statt 30,10 Prozent; χ² = 669,14 bei df = 8."
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</a>
<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner">150 Spesenbelege, 70 knapp unter 100 Euro: Ziffer 9 bei 48,67 % statt 4,58 %, χ² = 669,14 auf Rechner-Portal</a></p>

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    Quelle: Rechner-Portal (rechner-portal.de) — https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner
  • Formelgrafik: Benford-Sollanteil als Zehnerlogarithmus von eins plus eins durch d, erwartete Anzahl, χ²-Prüfgröße und mittlere absolute Abweichung

    Formeln: Benford-Verteilung, erwartete Anzahl, χ²-Test und MAD

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       alt="Formelgrafik: Benford-Sollanteil als Zehnerlogarithmus von eins plus eins durch d, erwartete Anzahl, χ²-Prüfgröße und mittlere absolute Abweichung"
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</a>
<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner">Formeln: Benford-Verteilung, erwartete Anzahl, χ²-Test und MAD auf Rechner-Portal</a></p>

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    Quelle: Rechner-Portal (rechner-portal.de) — https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner

Quellen, Transparenz und Haftung

Haftungsausschluss

Die Ergebnisse dieses Rechners sind Orientierungswerte und ersetzen keine professionelle Beratung. Für verbindliche Entscheidungen – insbesondere in finanziellen, gesundheitlichen oder rechtlichen Angelegenheiten – empfehlen wir die Einholung fachkundiger Beratung. Aktuelle Vertrags-, Produkt- und Regulierungsdaten können von den Rechenwerten abweichen.

Rechnerspezifische Grenzen: Der Rechner prüft die Verteilung führender Ziffern einer Zahlenliste. Eine Abweichung vom Benfordschen Gesetz ist ein Indiz zum Nachprüfen und kein Nachweis für Fehler oder Manipulation; sie ersetzt keine Buch- oder Steuerprüfung und keine rechtliche Bewertung.

Quelle: Statistik: Benfordsches Gesetz nach Benford (1938) und Wikipedia-Fachartikeln; MAD-Stufen nach Nigrini (2012) für die erste Ziffer; χ²-Quantile numerisch; Stand Oktober 2026.

Stand: 2026-10-11

Externe Fachquellen
Qualitätsnachweise
Verantwortlich
Kilian Achatz
Herausgeber
Rechner-Portal
Letzte fachliche Prüfung
11. Oktober 2026
Fachbereich
Mathematik / Statistik
Formeln basieren auf
Soll: erste Ziffer P(d) = log₁₀(1 + 1/d), zweite Ziffer P(d) = Σ(k=1..9) log₁₀(1 + 1/(10k + d)), erste zwei Ziffern P(dd) = log₁₀(1 + 1/dd); χ² = Σ (Ist − Soll · N)² ÷ (Soll · N) mit df = 8 / 9 / 89; MAD = Σ|p_ist − p_soll| ÷ Zahl der Ziffern; erwartete MAD bei idealen Daten ≈ mittlerer Wert von √(2 · p · (1 − p) ÷ (π · N)).
Zitation & Richtlinien

APA-Format

Rechner-Portal (2026). Benford-Rechner. Abgerufen von https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner

Harvard-Format

Rechner-Portal, 2026. Benford-Rechner. Available at: https://rechner-portal.de/mathematik/statistik/benford-rechner

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