T-Wert Tabelle und kritischer Wert: z, t, χ², F berechnen

Der kritische Wert ist die Grenze zwischen dem Annahmebereich und dem Ablehnungsbereich eines Hypothesentests. Liegt die Teststatistik jenseits dieser Grenze, wird die Nullhypothese H₀ auf dem gewählten Signifikanzniveau α abgelehnt.

Er hängt von der Verteilung der Teststatistik, von α, von der Richtung des Tests und bei t, χ² und F von den Freiheitsgraden ab.

Beim t-Test mit 10 Freiheitsgraden und α = 0,05 zweiseitig liegt er bei ±2,2281: Ein t-Wert über 2,2281 oder unter −2,2281 führt zur Ablehnung.

Bei der Standardnormalverteilung sind es ±1,96, bei der χ²-Verteilung mit 8 Freiheitsgraden rechtsseitig 15,5073. Der Rechner berechnet diese Quantile direkt aus der Verteilungsfunktion und gibt Ablehnungsbereich, p-Wert und Entscheidung aus.

Er prüft nicht, ob der Test seine Voraussetzungen erfüllt, etwa Unabhängigkeit der Messungen oder annähernde Normalverteilung. Wichtig ist außerdem die Richtung: Ein linksseitiger Test hat einen negativen kritischen Wert.

Die Tabelle hat je Zeile die Freiheitsgrade df und je Spalte ein Niveau. Die üblichen Tabellen, auch die des NIST, geben die einseitige obere Schwelle an: Für df = 10 stehen dort 1,812 bei α = 0,05, 2,228 bei α = 0,025 und 2,764 bei α = 0,01.

Für einen zweiseitigen Test mit α = 0,05 nimmst du die Spalte für α/2 = 0,025, also 2,228. Für einen einseitigen Test wählst du die Spalte für α selbst.

Der Rechner erzeugt die Tabelle aus derselben Funktion, die auch den Rechner betreibt, und lässt dich jedes Niveau zwischen 0,0001 und 0,5 und jede Zahl der Freiheitsgrade bis 1.000 wählen.

Beim Ablesen der Zeile ∞ erhältst du die Werte der Normalverteilung, bei α = 0,025 etwa 1,96. Bei df = 30 sind es 2,0423 und bei df = 120 1,9799, die Werte nähern sich 1,96. Linksseitig gilt der negative Wert.

Beim einseitigen Test liegt die gesamte Fläche α an einem Rand der Verteilung, beim zweiseitigen Test verteilt sie sich zu je α/2 auf beide Ränder.

Die Richtung folgt der Alternativhypothese: „größer“ bedeutet rechtsseitig, „kleiner“ linksseitig, „ungleich“ zweiseitig.

Bei α = 0,05 ist der kritische z-Wert einseitig 1,6449 und zweiseitig ±1,96; beim t-Test mit df = 10 sind es 1,8125 gegenüber ±2,2281.

Der einseitige Test lehnt H₀ schon bei kleineren Abweichungen ab, darf aber nur gewählt werden, wenn die Richtung vor der Auswertung feststeht.

Bei den asymmetrischen Verteilungen χ² und F hat der zweiseitige Test ein unteres und ein oberes Quantil: Bei χ² mit df = 10 sind es 3,247 und 20,4832.

Der p-Wert halbiert sich zwischen zweiseitig und einseitig in die Richtung der Daten: Bei t = 2,9 und df = 10 ist er zweiseitig 0,0158 und rechtsseitig 0,0079.

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter H₀ einen mindestens so extremen Wert der Prüfgröße zu erhalten.

Er folgt aus der Verteilungsfunktion F der Statistik x: rechtsseitig p = 1 − F(x), linksseitig p = F(x), zweiseitig p = 2 · min(F(x), 1 − F(x)).

Bei z = 2,5 zweiseitig ist p = 0,0124; bei t = −1,9 mit 12 Freiheitsgraden linksseitig p = 0,0409; bei F = 4,2 mit df₁ = 5 und df₂ = 12 rechtsseitig p = 0,0194.

Der Rechner übernimmt dafür die Teststatistik im Modus „p-Wert“ und vergleicht p mit α: Ist p kleiner oder gleich α, lehnt er H₀ ab.

Der p-Wert sagt nicht, wie wahrscheinlich H₀ ist, und nicht, wie groß ein Effekt ist; ein kleiner p-Wert bei einer riesigen Stichprobe kann einen praktisch bedeutungslosen Unterschied zeigen.

Sehr kleine Werte unter 0,0001 zeigt der Rechner als „< 0,0001“, die Zahl bleibt intern erhalten.

Beide Wege führen zur selben Entscheidung: H₀ wird abgelehnt, wenn die Teststatistik im Ablehnungsbereich liegt, und das ist genau dann der Fall, wenn p ≤ α gilt.

Der kritische Wert eignet sich, wenn du das Niveau fest vorgibst und die Tabelle nutzt; der p-Wert zeigt zusätzlich, wie knapp oder deutlich das Ergebnis ist. Ein Beispiel: t = 2,9 bei df = 10, zweiseitig.

Mit α = 0,05 ist der kritische Wert ±2,2281, und weil 2,9 größer ist, wird H₀ abgelehnt; der p-Wert 0,0158 ist kleiner als 0,05.

Mit α = 0,01 ist der kritische Wert ±3,1693, 2,9 liegt nicht darüber, und der p-Wert 0,0158 ist größer als 0,01: H₀ bleibt bestehen. Das Niveau muss vor dem Test feststehen; nachträglich zu wählen, bis das Ergebnis passt, entwertet den Test.

Der Rechner zeigt beide Angaben nebeneinander.

Für ein zweiseitiges Niveau von 95 Prozent, also α = 0,05, gilt z = ±1,96; für 99 Prozent, α = 0,01, ±2,5758; für 99,9 Prozent, α = 0,001, ±3,2905. Einseitig sind die Werte kleiner: 1,6449 für α = 0,05, 2,3263 für α = 0,01 und 3,0902 für α = 0,001.

Die Zahlen sind Quantile der Standardnormalverteilung; sie gelten für den z-Test, für große Stichproben und für Konfidenzintervalle mit bekannter Varianz.

Bei kleinen Stichproben und unbekannter Varianz nimmst du stattdessen den t-Wert, der größer ist: Bei df = 10 sind es ±2,2281 statt ±1,96. Für Zwischenwerte wie α = 0,02 wählst du „Eigener Wert“ und erhältst ±2,3263.

Der Rechner nennt immer den Wert auf vier Nachkommastellen und zeigt den Rechenweg. Das Quadrat des z-Wertes ist übrigens der kritische χ²-Wert mit einem Freiheitsgrad: 1,96² = 3,8415.

Beim χ²-Test, etwa Anpassungs- oder Unabhängigkeitstest, ist die Prüfgröße nie negativ und der Test meist rechtsseitig: Bei df = 8 und α = 0,05 liegt der kritische Wert bei 15,5073, bei df = 5 bei 11,0705, bei df = 4 bei 9,4877.

Hat eine Prüfgröße von 9,8 bei df = 4 den p-Wert 0,0439, wird H₀ bei α = 0,05 abgelehnt. Zweiseitig gibt es ein unteres und ein oberes Quantil, bei df = 10 3,247 und 20,4832.

Beim F-Test, etwa für den Vergleich zweier Varianzen oder die einfaktorielle ANOVA, brauchst du die Freiheitsgrade des Zählers df₁ und des Nenners df₂: Für df₁ = 3 und df₂ = 20 ist der kritische Wert rechtsseitig 3,0984; bei F = 3,5 beträgt p = 0,0345.

Der Rechner gibt beide Werte mit dem Ablehnungsbereich aus. Die Freiheitsgrade selbst bestimmt der Freiheitsgrade-Rechner für das jeweilige Verfahren.

Das hängt vom Verfahren ab. Beim t-Test für den Mittelwert einer Stichprobe gilt df = n − 1: Mit 11 Messwerten sind es 10 Freiheitsgrade.

Beim Test für zwei unabhängige Stichproben mit gleicher Varianz gilt df = n₁ + n₂ − 2, beim χ²-Anpassungstest mit k Kategorien df = k − 1, bei der einfaktoriellen ANOVA gibt es df₁ = k − 1 und df₂ = N − k.

Ein falscher Wert verschiebt den kritischen Wert: Mit df = 11 statt 10 wäre der t-Wert ±2,201 statt ±2,2281, mit df = 5 dagegen ±2,5706.

Der Rechner verlangt ganze Zahlen von 1 bis 1.000 und meldet sonst einen Hinweis; für sehr große df genügt der z-Wert, bei df = 120 sind es ±1,9799 gegen ±1,96.

Welch-Tests mit gebrochenen Freiheitsgraden berechnet er nicht, den Wert dafür liefert der Freiheitsgrade-Rechner, der ihn auf die Tabelle abrundet.